| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. DémonstrationsRaisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :Un calcul élémentaire donne :Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Sous les notations précédentes, si le diamètre de est égal à , alors est isométrique à la sphère euclidienne de rayon . Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par , où est la dimension de la variété. Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure strictement positive est fini. (fr)
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. DémonstrationsRaisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :Un calcul élémentaire donne :Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Sous les notations précédentes, si le diamètre de est égal à , alors est isométrique à la sphère euclidienne de rayon . Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par , où est la dimension de la variété. Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure strictement positive est fini. (fr)
|
| dbo:namedAfter
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 3232 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| prop-fr:contenu
|
- :Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :
::
:Un calcul élémentaire donne :
::
:Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :
::
:Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne. (fr)
- :Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec . Soit une géodésique d'origine et d'extrémité . Prenons un vecteur dans , orthogonal à . Introduisons le champ de vecteurs parallèle le long de d'origine . Posons :
::
:Un calcul élémentaire donne :
::
:Soit une variation de courbes d'origine et d'extrémité avec et . La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs , donne alors :
::
:Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne. (fr)
|
| prop-fr:titre
|
- Démonstrations (fr)
- Démonstrations (fr)
|
| prop-fr:wikiPageUsesTemplate
| |
| dct:subject
| |
| rdfs:comment
|
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : (fr)
- En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg- (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la . Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive , alors son diamètre est borné par : En particulier, est compacte. Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) : Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant : (fr)
|
| rdfs:label
|
- Satz von Bonnet-Myers (de)
- Stelling van Myers (nl)
- Teorema de Myers (es)
- Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers (fr)
- Теорема Маєрса (uk)
- Satz von Bonnet-Myers (de)
- Stelling van Myers (nl)
- Teorema de Myers (es)
- Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers (fr)
- Теорема Маєрса (uk)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is oa:hasTarget
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
