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- Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T . Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T -voisinage de 0. (fr)
- * ⇒ (fr)
- Soient T la topologie de E, supposée vérifier , et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T. (fr)
- Or pour un tel V, par continuité de l'application ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après , tels queV contient alors l'ensemble Ω défini parDe plus, Ω est voisinage de 0 , convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon est par conséquent un T '-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V. (fr)
- En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p < R est convexe.
* ⇒ (fr)
- Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T . Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T -voisinage de 0. (fr)
- * ⇒ (fr)
- Soient T la topologie de E, supposée vérifier , et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T. (fr)
- Or pour un tel V, par continuité de l'application ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après , tels queV contient alors l'ensemble Ω défini parDe plus, Ω est voisinage de 0 , convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon est par conséquent un T '-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V. (fr)
- En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p < R est convexe.
* ⇒ (fr)
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