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- Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème du point fixe de Brouwer à des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie. Il a été démontré d'abord dans le cas des espaces de Banach par Juliusz Schauder. Il intervient dans la démonstration de l'existence de solutions d'équations différentielles. (fr)
- Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème du point fixe de Brouwer à des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie. Il a été démontré d'abord dans le cas des espaces de Banach par Juliusz Schauder. Il intervient dans la démonstration de l'existence de solutions d'équations différentielles. (fr)
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- L'enveloppe convexe-fermée de est incluse dans et précompacte. En remplaçant par cette partie, on peut donc supposer désormais que le convexe est compact.
* Pour un tel , montrons que pour tout ouvert convexe contenant 0, il existe un sous-espace vectoriel de dimension finie et une application continue tels que :Par compacité, il existe une partie finie de telle que et une partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement fini. En notant le sous-espace vectoriel engendré par , on définit alors l'application voulue par :
* Puisque la dimension de est finie et que est un compact convexe non vide stable par , le théorème du point fixe de Brouwer assure qu'il contient un vecteur tel que donc tel que
*Comme est compact, la suite généralisée possède une valeur d'adhérence, qui est alors un point de fixe par . (fr)
- L'enveloppe convexe-fermée de est incluse dans et précompacte. En remplaçant par cette partie, on peut donc supposer désormais que le convexe est compact.
* Pour un tel , montrons que pour tout ouvert convexe contenant 0, il existe un sous-espace vectoriel de dimension finie et une application continue tels que :Par compacité, il existe une partie finie de telle que et une partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement fini. En notant le sous-espace vectoriel engendré par , on définit alors l'application voulue par :
* Puisque la dimension de est finie et que est un compact convexe non vide stable par , le théorème du point fixe de Brouwer assure qu'il contient un vecteur tel que donc tel que
*Comme est compact, la suite généralisée possède une valeur d'adhérence, qui est alors un point de fixe par . (fr)
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- Démonstration si est localement convexe (fr)
- Démonstration si est localement convexe (fr)
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- Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème du point fixe de Brouwer à des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie. Il a été démontré d'abord dans le cas des espaces de Banach par Juliusz Schauder. Il intervient dans la démonstration de l'existence de solutions d'équations différentielles. (fr)
- Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème du point fixe de Brouwer à des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie. Il a été démontré d'abord dans le cas des espaces de Banach par Juliusz Schauder. Il intervient dans la démonstration de l'existence de solutions d'équations différentielles. (fr)
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- Fixpunktsatz von Schauder (de)
- Schauder fixed-point theorem (en)
- Teorema del punto fisso di Schauder (it)
- Théorème du point fixe de Schauder (fr)
- シャウダーの不動点定理 (ja)
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