En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles.

PropertyValue
dbpedia-owl:abstract
  • En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles.
  • L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904, esso stabilisce che Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.Informalmente, quando ci viene data una collezione di insiemi non vuoti possiamo costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito gli altri assiomi della teoria degli insiemi sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'assioma della scelta appunto.Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è il seguente: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio; possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini, e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste dobbiamo invocare l'assioma della scelta.L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo AC (dall'inglese Axiom of Choice), soprattutto nell'ambito della logica matematica.
  • 選択公理(せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう)とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
  • A halmazelméletben a kiválasztási axióma biztosítja az úgynevezett kiválasztási függvények létezését. Kiválasztási függvény alatt olyan leképezést értünk, amelynek az értelmezési tartománya tetszőleges nemüres halmazokból áll és minden egyes nemüres halmazhoz hozzárendel egy elemet az adott halmazból, azaz minden halmazból kiválaszt egy elemet. A kiválasztási függvény értékkészlete tehát a részhalmaza az értelmezési tartományban lévő halmazok egyesítési halmazának. A naiv halmazelméletben feltételezzük, hogy minden esetben létezik kiválasztási függvény, az axiomatikus halmazelméletben ezt a feltételezést a kiválasztási axióma elfogadása helyettesíti.
  • Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma uit de verzamelingenleer, dat in 1904 werd geformuleerd door Ernst Zermelo. Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een oneindige collectie verzamelingen, altijd mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen precies een element te kiezen, ook al is er geen "keuzeregel" gedefinieerd die bepaalt welk element uit ieder van deze verzamelingen gekozen moet worden. Preciezer geformuleerd: Zij X een oneindige collectie niet-lege verzamelingen, dan kan men uit elke verzameling van die collectie een element (lidmaat) kiezen, dat wil zeggen dat er een keuzefunctie f, gedefinieerd op X bestaat, zodanig dat voor elke verzameling V in X geldt, dat f(V) een element van V isHet keuzeaxioma wordt in tal van deelgebieden van de wiskunde gebruikt. Tevens is het equivalent met een aantal andere stellingen, waaronder het lemma van Zorn en de welordeningsstelling. Het is aangetoond dat het keuzeaxioma niet volgt uit de andere axioma's van de verzamelingenleer, maar er ook niet mee in tegenspraak is. Het keuzeaxioma wordt niet vereist als er sprake is van een eindig aantal verzamelingen of als er wel een "keuzeregel" is gedefinieerd.
  • Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.Powszechnie przyjmowane aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF) teorii mnogości rozszerzone o AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Aksjomat ten jest niezależny ZF – można również rozważać modele teorii mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC. Z tego powodu choć większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru, to w dowodach twierdzeń go wykorzystujących przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt – dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdyż mówią często jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).W przypadku ograniczenia się do skończonych rodzin zbiorów aksjomat wyboru jest trywialny (wynika z innych aksjomatów); zastosowany dla nieskończonych rodzin zbiorów również wydaje się intuicyjny, lecz jego konsekwencje bywają zaskakujące, np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (mówiące o możliwości rozkładu kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na sześć części, z których można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule o średnicy równej średnicy kuli wyjściowej).
  • En teoría de conjuntos, el axioma de elección (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «cajas» con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, o cuando existe una regla bien determinada que permite «elegir» un único elemento de cada conjunto de ella. Sin embargo, el axioma es indispensable en el caso más general de una familia infinita arbitraria.Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado. Aunque originalmente fue controvertido, hoy en día es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Hay aún, sin embargo, especialmente en la teoría de conjuntos, corrientes de opinión que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con él.
  • In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that the cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty. It states that for every indexed family of nonempty sets there exists an indexed family of elements such that for every . The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem.Informally put, the axiom of choice says that given any collection of bins, each containing at least one object, it is possible to make a selection of exactly one object from each bin. In many cases such a selection can be made without invoking the axiom of choice; this is in particular the case if the number of bins is finite, or if a selection rule is available: a distinguishing property that happens to hold for exactly one object in each bin. To give an informal example, for any (even infinite) collection of pairs of shoes, one can pick out the left shoe from each pair to obtain an appropriate selection, but for an infinite collection of pairs of socks (assumed to have no distinguishing features), such a selection can be obtained only by invoking the axiom of choice.Although originally controversial, the axiom of choice is now used without reservation by most mathematicians, and it is included in Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice (ZFC), the standard form of axiomatic set theory. One motivation for this use is that a number of generally accepted mathematical results, such as Tychonoff's theorem, require the axiom of choice for their proofs. Contemporary set theorists also study axioms that are not compatible with the axiom of choice, such as the axiom of determinacy. The axiom of choice is avoided in some varieties of constructive mathematics, although there are varieties of constructive mathematics in which the axiom of choice is embraced.
  • L'axioma de l'elecció (AE) és un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controvèrsia.Estableix el següent: Sigui X una col·lecció de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció. Més formalment seria: Existeix una funció f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) és un element de S. Una altra formulació de l'axioma d'elecció estableix que: Donat un conjunt de conjunts disjunts (sense interseccions) no buits, existeix almenys un conjunt que té exactament un element en comú amb cadascun dels conjunts no buits.En una sèrie de capses amb almenys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada capsa. On hi ha la dificultat? Bé, vegem-ne alguns exemples: Sigui X una col·lecció finita de conjunts no buits.Aquí tot és senzill, i l'axioma d'elecció no és necessari, només cal seguir les regles de la lògica formal. Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres naturals {0, 1, 2, 3...}. Llavors f pot ser la funció que escull el menor element de cada conjunt. Novament, l'axioma d'elecció no és necessari, ja que tenim una regla per escollir. Sigui X la col·lecció de tots els sub-intervals de (0, 1) amb longitud superior a 0. Llavors f pot ser la funció que escull el punt mitjà de cada interval. Una altra vegada, l'axioma d'elecció no és necessari. Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres reals. Llavors tenim un problema. No existeix cap definició òbvia de f, ja que la resta d'axiomes de la teoria de conjunts ZF no ordenen adequadament els nombres reals.Aquí hi ha la clau de l'axioma. Només estableix que existeix alguna funció f que pot escollir un element de cada conjunt de la col·lecció. No dóna cap indicació de com s'hauria de definir la funció, senzillament en manté l'existència. Els teoremes la prova dels quals inclou l'axioma d'elecció són sempre no constructius: postulen l'existència de quelcom sense indicar com obtenir-ho. S'ha demostrat que l'axioma d'elecció és independent de la resta d'axiomes de la teoria de conjunts; és a dir, no es pot demostrar ni refutar. Això és el resultat del treball de Kurt Gödel i Paul Cohen. Així, no hi ha contradiccions, tant si s'accepta com si no s'accepta; tanmateix, la majoria dels matemàtics l'accepten, o bé n'accepten una versió feble, ja que així se'ls simplifica la feina. Una de les raons per la qual a alguns matemàtics no els agrada particularment l'axioma d'elecció és que implica l'existència d'alguns objectes estranys no intuïtius. Un exemple d'això és la paradoxa de Banach-Tarski que conclou que és possible de "dividir" l'esfera tridimensional en un nombre de peces finit i, usant només rotació i translació, ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix volum que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen l'axioma d'elecció, no diu com cal fer-ho, només diu que es pot fer. Un dels aspectes més interessants de l'axioma d'elecció és els llocs curiosos de les matemàtiques on surt. Així, hi ha un nombre remarcable d'afirmacions que són equivalents a l'axioma d'elecció. Els més importants són el lema de Zorn i el principi de bon ordenament: cada conjunt pot ser ben ordenat. (De fet, Zermelo va introduir inicialment l'axioma d'elecció per formalitzar la seva prova del principi de bon ordenament). Jerry Bona va dir una vegada: "L'axioma d'elecció és òbviament cert, el principi de bon ordenament òbviament fals, i vés a saber si ho és el lema de Zorn?".
  • Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904.
  • 선택공리(選擇公理, Axiom of choice, AC)는 공집합이 아닌 집합들을 원소로 갖는 집합족이 주어졌을 때, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 구성할 수 있다는 공리이다. 이 공리는 1904년 에른스트 체르멜로가 처음 제시했다.이 공리는 직관적으로 자연스러워 보이지만, 이 공리를 이용하면 비직관적인 결과를 얻을 수도 있다. 예를 들어, 바나흐-타르스키 역설에 따르면 구 하나를 유한개의 조각으로 분할하여 재조합하면 원래 구와 같은 부피를 갖는 구 두 개를 만들 수 있다.
  • Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, nämlich eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“.Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.
dbpedia-owl:wikiPageExternalLink
dbpedia-owl:wikiPageID
  • 96415 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageLength
  • 17893 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageOutDegree
  • 57 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageRevisionID
  • 103522815 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageWikiLink
prop-fr:année
  • 1985 (xsd:integer)
  • 1998 (xsd:integer)
prop-fr:collection
  • Mathematical Surveys and Monographs
prop-fr:contenu
  • * ⇔ : est un cas particulier de , modulo un prolongement arbitraire de la fonction de choix pour l'ensemble vide. Réciproquement, on déduit de en prenant comme ensemble E la réunion des ensembles de X : fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E, donc sur X, sous-ensemble de celui-ci. * ⇒ : soit X un ensemble d'ensembles non vides. En appliquant à la famille de ces ensembles, indexée par X lui-même, on construit un élément de leur produit, c'est-à-dire une fonction de choix. * ⇒ : soit R une relation d'équivalence. En appliquant à l'ensemble X de ses classes, on obtient le choix d'un élément par classe. * ⇒ : à toute surjection s : E → I est associée une relation d'équivalence R sur E : deux éléments sont équivalents s'ils ont même image par s. Un inverse à droite pour s est donné par un choix de représentants de R. * ⇒ : pour une famille d'ensembles non vides, notons E la réunion disjointe des X, c'est-à-dire l'ensemble de tous les couples tels que x appartienne à X. Alors la première projection, de E dans I, qui à associe i, est une surjection, dont tout inverse à droite fournit un élément du produit des X.
  • Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit I l'ensemble des fonctions de choix f pour une sous-famille Y de X. L'ensemble I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications. I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié, I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale Y de X. Si par l'absurde Y était différent de X, associer à un ensemble appartenant à X-Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc, Y=X et f est une fonction de choix pour X.
  • article détaillé :
prop-fr:lang
  • en
prop-fr:lienÉditeur
  • American Mathematical Society
  • Elsevier
prop-fr:nom
  • Howard
  • Rubin
prop-fr:numéroDansCollection
  • 59 (xsd:integer)
prop-fr:prénom
  • J. E.
  • Jean
  • Paul
  • H.
prop-fr:titre
  • Démonstration des équivalences
  • Consequences of the Axiom of Choice
  • Equivalents of the Axiom of Choice
  • Démonstration de ce que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix.
prop-fr:url
prop-fr:volume
  • II
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
prop-fr:éditeur
  • AMS
  • North-Holland Publishing Company
dcterms:subject
rdfs:comment
  • En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles.
  • 選択公理(せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう)とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
  • Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904.
  • 선택공리(選擇公理, Axiom of choice, AC)는 공집합이 아닌 집합들을 원소로 갖는 집합족이 주어졌을 때, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 구성할 수 있다는 공리이다. 이 공리는 1904년 에른스트 체르멜로가 처음 제시했다.이 공리는 직관적으로 자연스러워 보이지만, 이 공리를 이용하면 비직관적인 결과를 얻을 수도 있다. 예를 들어, 바나흐-타르스키 역설에 따르면 구 하나를 유한개의 조각으로 분할하여 재조합하면 원래 구와 같은 부피를 갖는 구 두 개를 만들 수 있다.
  • Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, nämlich eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“.Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.
  • In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that the cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty. It states that for every indexed family of nonempty sets there exists an indexed family of elements such that for every .
  • Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.Powszechnie przyjmowane aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF) teorii mnogości rozszerzone o AC oznacza się zwykle skrótem ZFC.
  • Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma uit de verzamelingenleer, dat in 1904 werd geformuleerd door Ernst Zermelo. Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een oneindige collectie verzamelingen, altijd mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen precies een element te kiezen, ook al is er geen "keuzeregel" gedefinieerd die bepaalt welk element uit ieder van deze verzamelingen gekozen moet worden.
  • L'axioma de l'elecció (AE) és un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controvèrsia.Estableix el següent: Sigui X una col·lecció de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció. Més formalment seria: Existeix una funció f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) és un element de S.
  • L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904, esso stabilisce che Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.Informalmente, quando ci viene data una collezione di insiemi non vuoti possiamo costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza.
  • A halmazelméletben a kiválasztási axióma biztosítja az úgynevezett kiválasztási függvények létezését. Kiválasztási függvény alatt olyan leképezést értünk, amelynek az értelmezési tartománya tetszőleges nemüres halmazokból áll és minden egyes nemüres halmazhoz hozzárendel egy elemet az adott halmazból, azaz minden halmazból kiválaszt egy elemet. A kiválasztási függvény értékkészlete tehát a részhalmaza az értelmezési tartományban lévő halmazok egyesítési halmazának.
  • En teoría de conjuntos, el axioma de elección (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «cajas» con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja.
rdfs:label
  • Axiome du choix
  • Aksjomat wyboru
  • Assioma della scelta
  • Auswahlaxiom
  • Axiom of choice
  • Axiom výběru
  • Axioma da escolha
  • Axioma de elección
  • Axioma de l'elecció
  • Keuzeaxioma
  • Kiválasztási axióma
  • Аксиома выбора
  • 選択公理
  • 선택공리
owl:sameAs
http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbpedia-owl:wikiPageDisambiguates of
is dbpedia-owl:wikiPageRedirects of
is dbpedia-owl:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of