| dbo:abstract
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- π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près est 3,141592653589793 en écriture décimale. De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques. Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire. L’usage de la lettre grecque π, première lettre de περίμετρος (« périmètre » en grec ancien), n’est apparu qu’au XVIIIe siècle à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues. (fr)
- π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près est 3,141592653589793 en écriture décimale. De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques. Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire. L’usage de la lettre grecque π, première lettre de περίμετρος (« périmètre » en grec ancien), n’est apparu qu’au XVIIIe siècle à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- vignette|Polygone circonscrit.
Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que
et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone. (fr)
- vignette|Propriété de la bissectrice.
Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S (fr)
- vignette|Polygone inscrit.Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que
On peut montrer ainsi que les périmètres et des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout de n étapes vérifient les relations de récurrence suivantes :
Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations .
La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de n = 4 étapes , à l'encadrement souhaité. (fr)
- vignette|Polygone circonscrit.
Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que
et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone. (fr)
- vignette|Propriété de la bissectrice.
Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S (fr)
- vignette|Polygone inscrit.Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que
On peut montrer ainsi que les périmètres et des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout de n étapes vérifient les relations de récurrence suivantes :
Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations .
La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de n = 4 étapes , à l'encadrement souhaité. (fr)
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| rdfs:comment
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- π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près est 3,141592653589793 en écriture décimale. De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques. (fr)
- π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près est 3,141592653589793 en écriture décimale. De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques. (fr)
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