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- En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an. Les fractions réduites hn/kn fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel x, au sens suivant : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/kn2 et, si une fraction p/q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/(2q2) alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation. Les fractions continues sont utilisées pour approcher des irrationnels comme des racines carrées ou le nombre π. Cette propriété permet de résoudre certaines équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité du nombre e. Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés transcendants, puis de montrer que e et π sont transcendants. (fr)
- En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an. Les fractions réduites hn/kn fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel x, au sens suivant : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/kn2 et, si une fraction p/q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/(2q2) alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation. Les fractions continues sont utilisées pour approcher des irrationnels comme des racines carrées ou le nombre π. Cette propriété permet de résoudre certaines équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité du nombre e. Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés transcendants, puis de montrer que e et π sont transcendants. (fr)
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- Adrien-Marie Legendre (fr)
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- Legendre (fr)
- Définition (fr)
- Legendre (fr)
- Définition (fr)
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- Essai sur la théorie des nombres (fr)
- Essai sur la théorie des nombres (fr)
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- Une meilleure approximation de x est une fraction h/k , telle que ║kx║ = kx – h et ║k'x║ > ║kx║ pour tout entier k' tel que 1 ≤ k' < k. (fr)
- Une meilleure approximation de x est une fraction h/k , telle que ║kx║ = kx – h et ║k'x║ > ║kx║ pour tout entier k' tel que 1 ≤ k' < k. (fr)
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- En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an. (fr)
- En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an. (fr)
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- Fraction continue et approximation diophantienne (fr)
- Fraction continue et approximation diophantienne (fr)
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