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- En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels ai et les dénominateurs partiels bi qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue, notée désormais dans cet article c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites (fr)
- En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels ai et les dénominateurs partiels bi qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue, notée désormais dans cet article c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites (fr)
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- 1962 (xsd:integer)
- 1987 (xsd:integer)
- 1988 (xsd:integer)
- 1998 (xsd:integer)
- 2005 (xsd:integer)
- 2007 (xsd:integer)
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- Les numérateurs et dénominateurs des réduites forment ici une suite récurrente linéaire d'ordre 2 :
L'étude générale des suites récurrentes linéaires montre que deux cas se présentent :
* si l'équation v – bv – a = 0 a deux racines distinctes δ1 et δ2 :
Si l'on désigne par δ1 la plus grande des deux racines en module, alors δ1 est nécessairement non nul, ce qui permet de définir le nombre complexe ω = δ/δ et d'écrire :
Ce cas se divise alors en deux :
::* Les racines sont de modules distincts :
Dans ce cas, ω est de module strictement inférieur à 1 donc ω tend vers 0, et la suite des réduites converge vers δ1 car
::* Les racines sont de même module :
Dans ce cas, ω est de module 1. Si c'est une racine de l'unité, d'ordre m, alors la suite des réduites est divergente car périodique de période m > 1, l'une de ses m valeurs étant même indéfinie . Si ω n'est pas une racine de l'unité, la suite est dense dans le cercle unité et la suite des réduites est également divergente car
* si l'équation v – bv – a = 0 a une racine double δ :La suite des réduites converge vers l'unique racine. (fr)
- Les numérateurs et dénominateurs des réduites forment ici une suite récurrente linéaire d'ordre 2 :
L'étude générale des suites récurrentes linéaires montre que deux cas se présentent :
* si l'équation v – bv – a = 0 a deux racines distinctes δ1 et δ2 :
Si l'on désigne par δ1 la plus grande des deux racines en module, alors δ1 est nécessairement non nul, ce qui permet de définir le nombre complexe ω = δ/δ et d'écrire :
Ce cas se divise alors en deux :
::* Les racines sont de modules distincts :
Dans ce cas, ω est de module strictement inférieur à 1 donc ω tend vers 0, et la suite des réduites converge vers δ1 car
::* Les racines sont de même module :
Dans ce cas, ω est de module 1. Si c'est une racine de l'unité, d'ordre m, alors la suite des réduites est divergente car périodique de période m > 1, l'une de ses m valeurs étant même indéfinie . Si ω n'est pas une racine de l'unité, la suite est dense dans le cercle unité et la suite des réduites est également divergente car
* si l'équation v – bv – a = 0 a une racine double δ :La suite des réduites converge vers l'unique racine. (fr)
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| prop-fr:fr
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- Edward Burr Van Vleck (fr)
- Ivan Śleszyński (fr)
- Julius Worpitzky (fr)
- Edward Burr Van Vleck (fr)
- Ivan Śleszyński (fr)
- Julius Worpitzky (fr)
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- de (fr)
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| prop-fr:lienPériodique
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- Transactions of the American Mathematical Society (fr)
- Proceedings of the American Mathematical Society (fr)
- Transactions of the American Mathematical Society (fr)
- Proceedings of the American Mathematical Society (fr)
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| prop-fr:lireEnLigne
|
- https://books.google.fr/books%3Fid=OPYqaWb3wHIC
- https://books.google.fr/books?id=c5gLFYcKHSgC&pg=PA180|titre chapitre=§ 6.5 : Convergence of continued fractions (fr)
- https://books.google.fr/books?id=elIyqgYk6RsC&pg=PA20|numéro chapitre=I, § 4 (fr)
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| prop-fr:nom
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| prop-fr:p.
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- 155 (xsd:integer)
- 698 (xsd:integer)
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| prop-fr:prénom
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- Luc (fr)
- Javier (fr)
- Annie (fr)
- W. T. (fr)
- H. S. (fr)
- Amparo (fr)
- David F. (fr)
- Haakon (fr)
- Nico M. (fr)
- Luc (fr)
- Javier (fr)
- Annie (fr)
- W. T. (fr)
- H. S. (fr)
- Amparo (fr)
- David F. (fr)
- Haakon (fr)
- Nico M. (fr)
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| prop-fr:revue
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- Trans. Amer. Math. Soc. (fr)
- Proc. Amer. Math. Soc. (fr)
- Trans. Amer. Math. Soc. (fr)
- Proc. Amer. Math. Soc. (fr)
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| prop-fr:titre
|
- dbpedia-fr:Cahiers_de_Ramanujan
- Some Recent Results in the Analytic Theory of Continued Fractions (fr)
- A convergence theorem for continued fractions (fr)
- Nonlinear Methods in Numerical Analysis (fr)
- Numerical Methods for Special Functions (fr)
- Preuve élémentaire directe (fr)
- Some Probabilistic Remarks on the Boundary Version of Worpitzky's Theorem (fr)
- A theorem on continued fractions and the fundamental inequalities (fr)
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| prop-fr:titreChapitre
|
- Convergence of continued fractions (fr)
- Convergence of continued fractions (fr)
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| prop-fr:titreOuvrage
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- Orthogonal functions, moment theory and continued fractions (fr)
- Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation (fr)
- Orthogonal functions, moment theory and continued fractions (fr)
- Nonlinear Numerical Methods and Rational Approximation (fr)
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- En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels ai et les dénominateurs partiels bi qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue, notée désormais dans cet article c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites (fr)
- En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels ai et les dénominateurs partiels bi qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue, notée désormais dans cet article c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites (fr)
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- Problème de convergence (mathématiques) (fr)
- Problème de convergence (mathématiques) (fr)
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