En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

PropertyValue
dbpedia-owl:abstract
  • En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation. La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences. Une telle sommation se présente sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.Lorsque la fonction est la représentation d'un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ sonore en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.
  • 数学においてフーリエ変換(フーリエへんかん、英語: Fourier transform; FT)は実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの函数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は函数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、函数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。
  • Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.
  • Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.
  • The Fourier transform (English pronunciation: /ˈfɔərieɪ/), named after Joseph Fourier, is a mathematical transformation employed to transform signals between time (or spatial) domain and frequency domain, which has many applications in physics and engineering. It is reversible, being able to transform from either domain to the other. The term itself refers to both the transform operation and to the function it produces.In the case of a periodic function over time (for example, a continuous but not necessarily sinusoidal musical sound), the Fourier transform can be simplified to the calculation of a discrete set of complex amplitudes, called Fourier series coefficients. They represent the frequency spectrum of the original time-domain signal. Also, when a time-domain function is sampled to facilitate storage or computer-processing, it is still possible to recreate a version of the original Fourier transform according to the Poisson summation formula, also known as discrete-time Fourier transform. See also Fourier analysis and List of Fourier-related transforms.
  • A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A Transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da Transformada Z.
  • Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: fuʁie) ist eine Methode der Fourier-Analysis, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Diese Integraltransformation ist benannt nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 die Fourier-Reihen einführte, ein Analogon der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.
  • 푸리에 변환(Fourier transform)은 한 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 선형 변환이다. 일반적으로 변환된 함수는 원래 함수를 주파수 영역으로 표현한 것이라고 부른다.
  • Преобразуванието на Фурие има няколко значения. В началото се дефинира за абсолютно интегруеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.
dbpedia-owl:thumbnail
dbpedia-owl:wikiPageExternalLink
dbpedia-owl:wikiPageID
  • 34565 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageLength
  • 48505 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageOutDegree
  • 110 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageRevisionID
  • 110734222 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageWikiLink
prop-fr:contenu
  • Soit f une fonction de classe C à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand tel que pour tout réel , . Introduisons une base hilbertienne de L donnée par : : . Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire : : où Plus explicitement, pour x standard : : La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite , et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C à support compact et tout x, puis par densité des fonctions C à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.
  • On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose . Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit :: et on peut montrer le résultat suivant: :: La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation. D'autre part, les fonctions ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier :: Comme la suite est de Cauchy dans l'espace , la suite des transformées de Fourier est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, qu'on note , ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si était une autre suite d'approximations convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation :: qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent tend aussi vers 0 et on conclut que la limite de la suite est bien .
  • Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation :: et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue :: Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons ::. On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec la période : ::. Mais le calcul de donne :: On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient :: On multiplie les deux membres de cette identité par : :: On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle [0, 1]. À gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n = 0. À droite, on intègre par rapport à y et on effectue dans chaque intégrale le changement de variable . On obtient ainsi la formule :: On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche f par une suite de fonctions vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les et leurs transformées de Fourier convergent vers leurs limites respectives et en norme L. On peut construire de telles approximations en tronquant f, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle [–p, p], et en le régularisant par convolution. Si est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose et on convole la fonction tronquée par . C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.
  • L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus : :: Considérons alors la suite de fonctions . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des converge en moyenne quadratique vers f, et par conséquent, on aura aussi :: en d'autres termes, converge en moyenne quadratique vers . La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.
  • * Prouvons d'abord que est stable par . Par commodité, nous ne traiterons que le cas , mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc # D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel , est intégrable. La fonction est donc définie et C. # D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels , la fonction est dans , donc dans . Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,ce qui prouve la décroissance rapide de ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à * Soit un élément de donc de . D'après le point précédent, appartient aussi à . Le théorème d'inversion sur s'applique et donne, en notant l'opérateur de composition par :
  • Lorsque a est sommable, la somme définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test , Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du dirac , ::. On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret.
  • On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier: :: On prend le carré du module des deux membres, et on intègre sur l'intervalle par rapport à y et sur l'intervalle : :: On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période en x et de période 1 en y. L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc: :: Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale , et on obtient la formule: :: Après changement de la variable muette en , on obtient la formule annoncée.
prop-fr:titre
  • Extension de la transformation de Fourier par densité
  • Démonstration de la compatibilité de avec
  • Démonstration de la formule d'inversion
  • Démonstration du théorème de Plancherel
  • FTL-SE
  • Preuve par l'analyse non standard
  • Preuve par la formule sommatoire de Poisson
prop-fr:url
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
prop-fr:wikiversity
  • Série et transformée de Fourier en physique
prop-fr:wikiversityTitre
  • Série et transformée de Fourier en physique
  • Série et transformée de Fourier en physique
dcterms:subject
rdfs:comment
  • En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définie sur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.
  • 数学においてフーリエ変換(フーリエへんかん、英語: Fourier transform; FT)は実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの函数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は函数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、函数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。
  • Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.
  • Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.
  • A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A Transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da Transformada Z.
  • 푸리에 변환(Fourier transform)은 한 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 선형 변환이다. 일반적으로 변환된 함수는 원래 함수를 주파수 영역으로 표현한 것이라고 부른다.
  • Преобразуванието на Фурие има няколко значения. В началото се дефинира за абсолютно интегруеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.
  • Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: fuʁie) ist eine Methode der Fourier-Analysis, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion.
  • The Fourier transform (English pronunciation: /ˈfɔərieɪ/), named after Joseph Fourier, is a mathematical transformation employed to transform signals between time (or spatial) domain and frequency domain, which has many applications in physics and engineering. It is reversible, being able to transform from either domain to the other.
rdfs:label
  • Transformation de Fourier
  • Fourier dönüşümü
  • Fourier transform
  • Fourier-Transformation
  • Fourier-transzformáció
  • Fourierova transformace
  • Fourierren transformatu
  • Fouriertransformatie
  • Transformacja Fouriera
  • Transformada de Fourier
  • Transformada de Fourier
  • Transformada de Fourier
  • Transformasi Fourier
  • Trasformata di Fourier
  • Преобразование Фурье
  • Преобразувание на Фурие
  • フーリエ変換
  • 푸리에 변환
owl:sameAs
http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbpedia-owl:wikiPageDisambiguates of
is dbpedia-owl:wikiPageRedirects of
is dbpedia-owl:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of