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  • En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant exactement la place de cette ligne. La longueur d'un arc est, soit un nombre positif, soit l'infini.Un vieil exemple est celui du demi-cercle de rayon r, où r désigne un nombre réel positif. Sa longueur est égale à πr. Un exemple, plus simple, est donné par un segment, sa longueur est égale à la distance qui sépare ses deux extrémités.Selon l'époque, différentes méthodes permettent de définir et de mesurer la longueur d'un ensemble d'arcs de plus en plus vaste. Eudoxe de Cnide, un mathématicien grec du IVe siècle av. J.-C., puis Archimède utilisent une méthode, dite d'exhaustion pour calculer celle d'un arc de cercle. La physique de la fin du XVIIe siècle développe une nouvelle approche, fondée sur les progrès réalisés en mécanique du point grâce en particulier au calcul infinitésimal appliqué à l'astronomie. La longueur d'un arc est perçue comme le produit du temps nécessaire à un point matériel pour parcourir l'arc par sa vitesse, si elle est supposée constante. Cette définition est généralisée par Bernhard Riemann et devient la pierre angulaire pour construire une distance sur de nouvelles géométries, maintenant appelées variétés riemanniennes.Pour le mathématicien français Camille Jordan (1838 - 1922), ces définitions sont trop restrictives. Il s'intéresse aux propriétés d'une courbe fermée, c'est-à-dire un arc dont le point initial se confond avec le point final. La définition précédente, issue de la physique deux siècles plus tôt, suppose que l'arc soit dérivable. Cette limitation empêche l'usage d'un vaste arsenal de méthodes, pourtant indispensables à la résolution de nombreuses questions. Il propose une nouvelle définition, à l'aide d'une borne supérieure et de la longueur d'une ligne polygonale. C'est maintenant la plus communément utilisée. Pour Hermann Minkowski (1864-1909), les idées de Jordan sont peu adaptées à ses besoins. Dans le contexte des questions qu'il se pose, la longueur qu'il cherche à définir est surtout celle de la frontière d'une surface. Un cercle est défini comme l'ensemble des points P d'un disque tels que tout voisinage de P contient un point du disque et un point extérieur. Il définit la longueur à l'aide de la notion intuitive de tube, correspondant à l'ensemble des points situés à une distance inférieure à r d'un point de l'arc. Cette définition se prête à de nombreuses généralisations, qui permettent même de donner un sens à la longueur d'une courbe fractale.
  • A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.
  • Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np. za pomocą twierdzenia Pitagorasa) – długość całego przybliżenia jest wtedy sumą długości wszystkich odcinków.Zwiększanie liczby odcinków (o krótszej długości) łamanej umożliwia lepsze przybliżanie krzywej. Długości kolejnych przybliżeń mogą rosnąć nieograniczenie, jednak istnieje klasa krzywych, dla których długości ich przybliżeń dążą do pewnej wartości wraz ze wzrostem liczby i skracaniem długości odcinków łamanej. Jeśli dla danej krzywej istnieje kres górny długości dowolnego jej przybliżenia wielomianowego, to wielkość tę nazywa się długością tej krzywej. Samą krzywą nazywa się wtedy prostowalną albo rektyfikowalną.
  • Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.
  • Determining the length of an irregular arc segment is also called rectification of a curve. Historically, many methods were used for specific curves. The advent of infinitesimal calculus led to a general formula that provides closed-form solutions in some cases.
  • Die Länge ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die Strecken, Wegen und Kurven zugeordnet werden kann. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge oder Rektifikationslinie bezeichnet.
  • In matematica, la lunghezza di un arco è un numero reale positivo che misura intuitivamente l'estensione di un arco o di una curva.Benché la definizione di lunghezza di un segmento o di un cammino poligonale sia chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente di lunghezza d'arco è relativamente recente. Questo problema, chiamato anche rettificazione, è stato prima affrontato per curve specifiche, e quindi risolto grazie al calcolo infinitesimale. La definizione risultante, accettata adesso da tutti i matematici, funziona per un insieme molto vasto di curve, dette rettificabili.
  • En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
  • La longitud d’arc, també anomenada rectificació d’una corba o la llargada d’un segment d’arc irregular, és la mesura de la distància o camí recorregut al llarg d’una corba o dimensió lineal. Històricament va ser difícil determinar aquesta longitud en segments irregulars; encara que es van fer servir diversos mètodes per a corbes específiques. Amb l’arribada del càlcul infinitesimal es va tenir una fórmula general que proporcionava solucions tancades per a alguns casos.
  • 数学において、複雑な形状の曲線(弧状線分)の弧長(こちょう、英: arc length)を決定する問題は、曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式が得られる。平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さくする極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 L が存在する。そのとき、その曲線は有限長であるといい、値 L をその曲線の弧長と呼ぶのである。
  • Onder de booglengte verstaat men in de meetkunde de lengte van een (gedeelte van een) kromme.
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  • Si ε est un entier plus petit que r, la zone Cε est celle qui se trouve à l'intérieur d'un disque de rayon r + ε et à l'extérieur du disque ouvert de rayon r – ε. La surface Vol est égale à : Or, 2πr correspond à la longueur du cercle et en dimension 1, la boule de rayon ε est de volume égal à 2ε en dimension 1. Le contenu de Minkowski est bien égal à la longueur du cercle.
  • Fixons les notations, E est un espace euclidien de dimension n, est un paramétrage curviligne de classe C2 d'un arc géométrique, fermé et simple et dont l'image est égale à C. Dire que le paramétrage est fermé revient à dire que f est égal à f, dire qu'il est simple est équivalent à dire que si s et t sont deux éléments de ]a, b[, alors f est différent de f. Enfin, dire que le paramétrage est curviligne revient à dire que la norme de la dérivée de f est toujours égale à 1, si t est un élément de [a, b]. La valeur ε désigne un réel strictement positif, compris entre 0 et μ, où μ est un réel strictement positif à déterminer. Ht désigne l'hyperplan de E orthogonal à f et Ba,μ la boule unité fermée de l'hyperplan Ha et de rayon μ. On note ut la dérivée de f au point t et vt le vecteur de norme 1 colinéaire à la dérivée seconde de f et de même sens. Dire que f est un paramétrage curviligne implique que ut et vt sont orthogonaux. Enfin, on note c la courbure de f en t, la dérivée seconde de f en t est égale au produit de c par vt.] La technique utilisée pour la démonstration consiste à construire un plongement ψ de [a, b]xBa,μ dans Cμ de classe C1. Ce plongement fournit le bon changement de variable pour calculer l'intégrale donnant l'aire de Cε. Pour construire ψ, on construit une application φt de classe C1 de [a, b] à valeurs dans les rotations de E, telle que l'image de ua par φt soit égale à ut. ::* Construction de φt : :Equation différentielle : :Une solution élégante consiste à construire φt comme la solution d'une équation différentielle linéaire. Pour cela, on définit une application χ d'un ensemble D dans L l'ensemble des endomorphismes de l'espace E. Ici D désigne les couples de vecteurs de E tels que u et v soient de normes égales à 1 et tels que u et v soient orthogonaux. L'endomorphisme χ associe à u le vecteur v, à v le vecteur -u et le vecteur nul à tout vecteur orthogonal à u et à v. On remarque que pour tout vecteur z de E, le produit scalaire de z avec son image par χ est nul. En effet, il est possible d'écrire z sous la forme α.u + β.v + w, où α et β sont deux scalaires et w un vecteur orthogonal à u et à v. On a bien, si désigne le produit scalaire : :Cette application nous permet de définir la fonction ψ, de [a, b] dans L, par : :L'application ψ est bien continue, elle est en effet composée d'applications continues. Il existe une petite difficulté si la courbure c est nulle, car vt n'est pas défini, mais définir ψ comme nulle en ces points est clairement un prolongement par continuité, la norme de ψt étant égale à c. La norme choisie ici pour L est celle qui, à un endomorphisme associe la borne supérieure de la norme de l'image de la boule unité. On considère l'équation différentielle suivante, sur [a, b] et à valeurs dans L: :La continuité de ψ et la compacité de [a, b] montrent que la fonction, qui à t associe la norme de ψ, atteint sa borne supérieure m. L'application qui à X associe la composée de ψ et de X est donc continue et m-lipschitzienne. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence d'une solution unique φ à l'équation différentielle. Il est même possible de donner une expression explicite de φ : thumb|Un repère de Frenet, dans le cas où la dérivée seconde n'est jamais nulle. À l'exception du caractère un peu inhabituel des ensembles utilisés ici, la méthode proposée n'utilise qu'une équation différentielle linéaire très simple. L'application φ permet presque de définir un repère de Frenet. Il suffirait d'associer au point a une base de Frenet et la base de Frenet serait, au point t son image par φ. Ce résultat n'est vrai que si la courbe est birégulière, c'est-à-dire que la dérivée seconde de f ne s'annule jamais. Après le premier point d'inflexion, il n'existe aucune raison de penser que l'image de v0 soit encore colinéaire à la dérivée seconde de f. Il suffit maintenant de vérifier que φ est bien l'application recherchée. :: L'application φ est à valeurs dans un ensemble de rotations et l'image de ua par φt est égale à ut : :Montrons tout d'abord que φ est à valeurs dans un ensemble de rotations. ce qui revient à montrer que si z est un vecteur de E, φt est de même norme que z. Ce résultat est trivialement vrai si t est égal à a car φa est l'identité. Il suffit de montrer que la dérivée de la fonction, qui à t associe le carré de la norme de φt, est nulle, pour établir que φt est une isométrie : :Il reste à montrer que le déterminant de φt est égal à 1. Comme φt est une isométrie, son déterminant est égal à ±1. L'image de l'application qui à t associe det φt est un connexe car l'application est continue. Comme en a, l'application vaut 1, elle vaut 1 partout et le déterminant de φt est bien égal à 1. :Montrons ensuite que φt est bien égal à ut. Pour cela, il suffit de vérifier que les deux arcs, qui à t associe φt d'une part et ut d'autre part ont même valeur initiale et satisfont à la même équation différentielle linéaire. L'unicité de la solution, garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, montre l'égalité. Par construction φa est égal à l'identité ; les deux arcs ont donc bien même valeur initiale. Vérifions maintenant que les deux arcs sont solutions de la même équation différentielle : :D'autre part : On en déduit que φt est bien égal à Ht. En effet, Ha est l'orthogonal de ua, son image par φt est l'orthogonal de φt car φt est une rotation. Il suffit de remarquer que φt est égal à ut pour conclure. :* Injectivité de Γ : thumb Pour que l'application Γ soit un plongement, il est nécessaire de bien choisir la valeur μ. Si elle est trop élevée, l'application Γ n'est pas nécessairement injective. Un exemple est donné sur la figure de droite. Le plus petit rayon de courbure est donné par le point de cercle osculateur violet. La valeur μ est choisie plus grande que le rayon du cercle osculateur, appelé rayon de courbure. Le point rouge est élément de l'hyperplan orthogonal à la tangente du point de cercle osculateur violet, et il est à une distance égale à cette valeur de μ. Les points à une distance inférieure ou égale à μ de la courbe sont illustrés en vert. Le point rouge est aussi élément du plan orthogonal d'un autre point, illustré en jaune. Si μ est choisi plus petit que le plus petit rayon de courbure atteint par les points de la courbe, cette situation ne peut pas se produire. L'application Γ est alors localement injective. :: Injectivité locale de Γ : :La fonction c qui à t associe la courbure de l'arc au point f est continue. Elle est définie sur un compact, elle atteint sa borne supérieure. Notons rm l'inverse de cette borne, qui correspond au plus petit rayon de courbure de l'arc. On suppose que μ est choisi plus petit que rm/2. L'objectif est de montrer que Γ est localement injective, c'est-à-dire que si t est un élément de [a, b], Γ est injective sur l'ensemble ]t-δ, t+δ[xBa,μ. La valeur δ correspond à un nombre réel strictement positif indépendant de t et à déterminer.] :Pour simplifier les notations, on suppose, quitte à translater l'intervalle [a, b], que t est égal à 0. On suppose de plus, quitte à modifier le repère, que f est égal au vecteur nul. On va montrer qu'un point p image par Γ d'un point de ]t-δ, t+δ[xBa,μ n'a pas d'autre antécédent dans cet ensemble. Dire que p est une telle image, revient à dire que sa norme est plus petite que μ, donc que rm/2 et que p est orthogonal à u0. On considère un autre antécédent de première coordonnée notée t et l'on va montrer que t est nécessairement plus grand qu'une valeur δ. Dire que t est un autre antécédent implique que p est dans le plan orthogonal à ut et passant par f. Ce qui montre l'égalité :] :La formule de Taylor-Lagrange montre l'existence d'une valeur τ1, comprise entre 0 et t, telle que : :Le même raisonnement montre l'existence de deux valeurs τ2 et τ3, aussi comprises entre 0 et t, telles que : Si l'on choisit δ plus petit que min/6, on est assuré que le terme t> est strictement plus petit que le deuxième produit scalaire, et l'injectivité locale sur l'intervalle ]t-δ, t+δ[xBa,μ est bien garantie.] :: Injectivité globale de Γ : thumb left|thumb L'injectivité locale n'implique pas l'injectivité de Γ. L'illustration de droite montre la raison. Si la courbe est suffisamment pincée, un point d'abscisse éloignée peut être arbitrairement proche du point étudié. Il faut alors vérifier qu'une zone rouge, à l'image de la figure, n'existe pas si μ est bien choisi. Comme par hypothèse, l'arc ne contient pas de point double, la configuration désagréable serait celle de gauche, avec une infinité de brins de l'arc qui s'approchent de plus en plus du point critique. La compacité du segment [a, b], impliquant celle du graphe C empêche l'apparition de ce phénomène. :Pour s'en persuader, considérons la fonction qui à t associe le minimum de la distance entre f et l'image par f des intervalles [a, t - δ] et [t + δ, b]. Comme la fonction distance est continue et que l'union des segments [a, t - δ] et [t + δ, b] est un compact, ce minimum est atteint. Comme l'arc est simple, c'est-à-dire qu'il n'admet pas de point multiple, ce minimum est différent de 0. La fonction de [a, b] dans ℝ qui à t associe le minimum défini précédemment est encore continue. Elle est encore définie sur un compact, ce qui implique qu'elle atteint encore son minimum μ1 qui n'est pas nul. :Si la valeur μ est choisie strictement plus petite que μ1/2 et que rm/2, les preuves précédentes garantissent l'injectivité de Γ. Pour pouvoir effectuer le changement de variable dans le calcul du volume, il faut encore s'assurer que l'ensemble d'arrivée de Γ restreint à [a, b]xBa,ε, où ε est un nombre réel strictement positif et plus petit que μ est bien Cε. Elle est plus facile à vérifier. :* Surjectivité de Γ restreint à [a, b]xBa,ε dans Cε: :Soit p un point de Cε. La fonction de C dans ℝ, qui à un point associe sa distance à p, est continue. Elle atteint son minimum en un point f, avec une distance inférieure à ε par hypothèse. Si h est un réel tel que t + h soit un élément de [a, b] la distance entre p et f est plus grande que le minimum précédemment cité. On en déduit : :La majoration est vraie pour les valeurs positives comme négatives de h, ce qui montre que p - f est orthogonal à ut. Une autre manière de dire les choses est que p est dans l'image de Γ. Plus précisément, son antécédent est . :* Calcul du jacobien : :Pour effectuer le changement de variable, il est utile de calculer le déterminant jacobien de ψ en un point . Pour cela calculons dans un premier temps la différentielle de ψ en ce point. Soit vt,a l'antécédent du vecteur normalisé de u't par φt, si la dérivée seconde de f n'est pas nulle et un vecteur de Ha de norme 1 et orthogonal à ua si la dérivée seconde est nulle. On note Kt,a l'hyperplan de Ha orthogonal à vt,a. On note un petit vecteur de Ba,μ tel que la somme du point et de soit dans Ba,μ. Enfin, on utilise les notations : :On a : :On en déduit la différentielle : :Pour le calcul du déterminant, on remarque que la différentielle possède deux espaces stables, celui engendré par ut et vt, puis Kt,a. Sur l'espace Kt,a, la différentielle est une rotation ; son déterminant est égal à 1 ; le jacobien recherché est celui de l'espace vectoriel de dimension 2 engendré par les deux vecteurs ut et vt. Dans cette base, la matrice M est égale à : Le résultat n'est pas étonnant. Il signifie que si la courbure est localement nulle, l'application ψ ne modifie pas le volume. Le même phénomène se produit aux alentours de la courbe C. En revanche, si un petit volume est choisi avec une coordonnée positive, c'est-à-dire dans la concavité de la courbure, alors le volume diminue. Il irait jusqu'à 0 si l'on se rapprochait du rayon de courbure, égal à 1/c, ce qui ne peut se produire avec le choix de μ, qui ne dépasse jamais la moitié du rayon de courbure. En revanche, dans la direction opposée, le volume augmente. :* Calcul du volume de Cε : :On peut maintenant appliquer le changement de variable ψ : :Or le solide [a, b]x Ba,μ est symétrique par rapport à Ka et le volume de la surface coupée à l'ordonnée ζ est exactement le même que celle coupée à l'ordonnée -ζ. La deuxième intégrale est égale à 0. On trouve : Le contenu 1-dimensionnel de la courbe C est égal à b – a, c'est-à-dire à la longueur de la courbe, car son paramétrage correspond à une abscisse curviligne. Dans le cas du cercle et en dimension 3, on retrouve une formule connue, le volume d'un tore. Dans le cas d'une courbe qui n'est pas fermée, la démonstration est exactement la même, il suffit d'ajouter les deux demi-boules aux extrémités. Dans le cas d'une courbe de classe C2 et admettant des points doubles, montrer que le contenu 1-dimensionnel de Minkowski est encore égal à la longueur n'est pas très compliqué, mais l'égalité du produit précédent et du volume du tube n'est plus vérifiée. Le résultat est encore vrai pour les courbes de classe C1, les polygones ou les courbes fermées non vides compacts et convexes en dimension 2, mais les démonstrations sont différentes.
  • :* L'intégrale de la norme de la dérivée de f sur l'intervalle I est convergente et la longueur L de l'arc au sens de Jordan est égale à celle définie par l'intégrale de la norme de sa dérivée : Soit ε un réel strictement positif. Le fait que l'arc soit rectifiable se traduit par l'existence d'un découpage de I : a0, …, an tel que la longueur de la ligne polygonale des images par f approxime L, la longueur de l'arc à ε/3 près. Ces hypothèses se traduisent par la majoration : Sur le segment [a0, an], la dérivée de f est une fonction uniformément continue. On en déduit que, quitte à affiner le découpage choisi : Ceci montre que, d'après la définition de la dérivée : En sommant ces n – 1 majorations, on obtient : En combinant les majorations ' et ', on obtient : La dernière majoration est vraie pour tout découpage de I suffisamment fin. Ce qui indique que l'intégrale impropre de la norme de la dérivée de f entre a et b est convergente. Autrement dit, quitte à encore affiner le découpage, on dispose aussi de la troisième majoration : En sommant les trois majorations ', ' et , on obtient : La dernière majoration étant vraie pour tout ε strictement positif, l'égalité entre la longueur de l'arc et l'intégrale est bien vérifiée.
prop-fr:titre
  • Démonstrations
  • Cas du cercle en dimension 2
  • Démonstration de l'équivalence des définitions
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
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rdfs:comment
  • En géométrie, la question de la longueur d'un arc est simple à concevoir (intuitive). L'idée d'arc correspond à celle d'une ligne, ou d'une trajectoire d'un point dans un plan ou l'espace par exemple. Sa longueur peut être vue comme la distance parcourue par un point matériel suivant cette trajectoire ou encore comme la longueur d'un fil prenant exactement la place de cette ligne.
  • A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.
  • Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.
  • Determining the length of an irregular arc segment is also called rectification of a curve. Historically, many methods were used for specific curves. The advent of infinitesimal calculus led to a general formula that provides closed-form solutions in some cases.
  • Die Länge ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die Strecken, Wegen und Kurven zugeordnet werden kann. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge oder Rektifikationslinie bezeichnet.
  • En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
  • La longitud d’arc, també anomenada rectificació d’una corba o la llargada d’un segment d’arc irregular, és la mesura de la distància o camí recorregut al llarg d’una corba o dimensió lineal. Històricament va ser difícil determinar aquesta longitud en segments irregulars; encara que es van fer servir diversos mètodes per a corbes específiques. Amb l’arribada del càlcul infinitesimal es va tenir una fórmula general que proporcionava solucions tancades per a alguns casos.
  • 数学において、複雑な形状の曲線(弧状線分)の弧長(こちょう、英: arc length)を決定する問題は、曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式が得られる。平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さくする極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 L が存在する。そのとき、その曲線は有限長であるといい、値 L をその曲線の弧長と呼ぶのである。
  • Onder de booglengte verstaat men in de meetkunde de lengte van een (gedeelte van een) kromme.
  • Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np.
  • In matematica, la lunghezza di un arco è un numero reale positivo che misura intuitivamente l'estensione di un arco o di una curva.Benché la definizione di lunghezza di un segmento o di un cammino poligonale sia chiara da tempo, una definizione generale soddisfacente di lunghezza d'arco è relativamente recente. Questo problema, chiamato anche rettificazione, è stato prima affrontato per curve specifiche, e quindi risolto grazie al calcolo infinitesimale.
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  • Longueur d'un arc
  • Arc length
  • Booglengte
  • Comprimento do arco
  • Długość łuku
  • Longitud d'arc
  • Longitud de arco
  • Lunghezza di un arco
  • Länge (Mathematik)
  • Ívhossz
  • Длина кривой
  • 弧長
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