| dbo:abstract
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- Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant. Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère. La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, le premier à la distinguer d'un cercle (ca. 1537). (fr)
- Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant. Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère. La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, le premier à la distinguer d'un cercle (ca. 1537). (fr)
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| prop-fr:contenu
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- La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose défini par une fonction de classe : , et orienté dans le sens des longitudes croissantes. Soit la fonction qui, à la longitude , associe le point courant de la loxodromie de longitude et de latitude .
Un vecteur tangent à la loxodromie est alors . Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle avec tout vecteur dirigeant le méridien au point considéré. Un vecteur dirigeant le méridien en est , tandis qu'un vecteur dirigeant le parallèle est .
Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point , auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles, et on notera au lieu de , et la dérivée de par rapport à .
En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du méridien, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Cet angle est précisément le cap vrai lorsque :
:, en notant le produit scalaire par .
Comme les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires, les vecteurs et sont orthogonaux, et l'expression précédente se simplifie en :
:
puis en :
:
En élevant au carré et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
:
D'où, avec
:.
On calcule les deux normes intervenant dans cette équation :
On sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base , étant dirigé selon l'axe terrestre, que , où est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par : .
On définit comme le vecteur dérivé par rapport à de : .
Alors et . Ainsi, et .
L'équation se réduit à :
:
Si on suppose qu'on part de l'équateur à la longitude et qu'on se dirige vers le Nord-Est, alors , et est une fonction croissante de donc , par suite :
:
:et , équation différentielle non linéaire à variables séparables en
En intégrant entre 0 et :
:,
:soit
:
La longueur L parcourue vaut alors, par définition :
:
:où et et, pour les mêmes raisons de signe, .
:
En changeant de variable, avec avec
la latitude variant de 0 à quand varie de 0 à :
:On a
:
Il est facile de vérifier le résultat en prenant nul. On voit que l'arc parcouru est le méridien et sa longueur est égale au quart de la circonférence.
Le même calcul mené entre deux points A et B situés sur la loxodromie donnera comme longueur :
: (fr)
- La loxodromie constitue un arc sur la sphère que l'on suppose défini par une fonction de classe : , et orienté dans le sens des longitudes croissantes. Soit la fonction qui, à la longitude , associe le point courant de la loxodromie de longitude et de latitude .
Un vecteur tangent à la loxodromie est alors . Ce vecteur, qui dirige la tangente à l'arc, forme donc, par hypothèse, un angle avec tout vecteur dirigeant le méridien au point considéré. Un vecteur dirigeant le méridien en est , tandis qu'un vecteur dirigeant le parallèle est .
Dans la suite, pour alléger l'écriture, on ne précisera plus le point , auquel sont prises les fonctions et leurs dérivées partielles, et on notera au lieu de , et la dérivée de par rapport à .
En effectuant le produit scalaire d'un vecteur directeur de la tangente à la loxodromie et d'un vecteur directeur du méridien, on obtient le produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Cet angle est précisément le cap vrai lorsque :
:, en notant le produit scalaire par .
Comme les parallèles et les méridiens sont perpendiculaires, les vecteurs et sont orthogonaux, et l'expression précédente se simplifie en :
:
puis en :
:
En élevant au carré et en utilisant le théorème de Pythagore, on obtient :
:
D'où, avec
:.
On calcule les deux normes intervenant dans cette équation :
On sait, d'après le paramétrage sphérique rapporté aux coordonnées cartésiennes dans la base , étant dirigé selon l'axe terrestre, que , où est le vecteur unitaire radial du plan équatorial défini par : .
On définit comme le vecteur dérivé par rapport à de : .
Alors et . Ainsi, et .
L'équation se réduit à :
:
Si on suppose qu'on part de l'équateur à la longitude et qu'on se dirige vers le Nord-Est, alors , et est une fonction croissante de donc , par suite :
:
:et , équation différentielle non linéaire à variables séparables en
En intégrant entre 0 et :
:,
:soit
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La longueur L parcourue vaut alors, par définition :
:
:où et et, pour les mêmes raisons de signe, .
:
En changeant de variable, avec avec
la latitude variant de 0 à quand varie de 0 à :
:On a
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Il est facile de vérifier le résultat en prenant nul. On voit que l'arc parcouru est le méridien et sa longueur est égale au quart de la circonférence.
Le même calcul mené entre deux points A et B situés sur la loxodromie donnera comme longueur :
: (fr)
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| rdfs:comment
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- Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant. Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère. (fr)
- Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant. Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère. (fr)
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