| dbo:abstract
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- En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas complexe) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) sont nombreuses. (fr)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas complexe) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) sont nombreuses. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- Le sens « si » est immédiat puisqu'une matrice diagonale réelle est autoadjointe.
Pour la réciproque, on peut utiliser que dans un espace hermitien, tout endomorphisme normal a est diagonalisable dans une base orthonormale et que si λ est une valeur propre pour a et v un vecteur propre associé alors v est propre pour a* pour la valeur propre conjuguée. En appliquant cela à un endomorphisme a qui est non seulement normal mais autoadjoint, le cas hermitien du théorème ci-dessus est démontré. Le cas euclidien s'en déduit par complexification .
Une preuve plus directe de la réciproque permet d'éviter la complexification et de traiter simultanément les cas hermitien et euclidien, en deux temps : on montre d'abord que toutes les valeurs propres de a sont réelles et qu'en dimension non nulle il en existe au moins une , puis on réduit a par récurrence sur la dimension de l'espace :
*Soient A une matrice autoadjointe , λ une racine de son polynôme caractéristique , et X une matrice colonne complexe non nulle telle que AX=λX. Alors
:
or X*.X est non nul, donc λ est réel.
*Soient a un endomorphisme autoadjoint d'un espace H euclidien ou hermitien de dimension non nulle, λ une valeur propre de a , F le sous-espace propre associé, et G son orthogonal, stable par a. Alors a se restreint en un endomorphisme autoadjoint de G, pour lequel il existe une base orthonormée propre. On conclut en complétant celle-ci par une base orthonormée de F. (fr)
- Notons ce sup. Par définition de la norme d'opérateur, on a clairement .
Montrons que réciproquement, , c'est-à-dire que pour tout vecteur unitaire , , ou encore : que pour tous vecteurs unitaires et , .
Puisque , on a
:
et de même,
:
donc par différence,
:
si bien que d'après l'identité du parallélogramme,
:.
En remplaçant par pour tous les scalaires de module 1, on en déduit le résultat annoncé. (fr)
- Le sens « si » est immédiat puisqu'une matrice diagonale réelle est autoadjointe.
Pour la réciproque, on peut utiliser que dans un espace hermitien, tout endomorphisme normal a est diagonalisable dans une base orthonormale et que si λ est une valeur propre pour a et v un vecteur propre associé alors v est propre pour a* pour la valeur propre conjuguée. En appliquant cela à un endomorphisme a qui est non seulement normal mais autoadjoint, le cas hermitien du théorème ci-dessus est démontré. Le cas euclidien s'en déduit par complexification .
Une preuve plus directe de la réciproque permet d'éviter la complexification et de traiter simultanément les cas hermitien et euclidien, en deux temps : on montre d'abord que toutes les valeurs propres de a sont réelles et qu'en dimension non nulle il en existe au moins une , puis on réduit a par récurrence sur la dimension de l'espace :
*Soient A une matrice autoadjointe , λ une racine de son polynôme caractéristique , et X une matrice colonne complexe non nulle telle que AX=λX. Alors
:
or X*.X est non nul, donc λ est réel.
*Soient a un endomorphisme autoadjoint d'un espace H euclidien ou hermitien de dimension non nulle, λ une valeur propre de a , F le sous-espace propre associé, et G son orthogonal, stable par a. Alors a se restreint en un endomorphisme autoadjoint de G, pour lequel il existe une base orthonormée propre. On conclut en complétant celle-ci par une base orthonormée de F. (fr)
- Notons ce sup. Par définition de la norme d'opérateur, on a clairement .
Montrons que réciproquement, , c'est-à-dire que pour tout vecteur unitaire , , ou encore : que pour tous vecteurs unitaires et , .
Puisque , on a
:
et de même,
:
donc par différence,
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si bien que d'après l'identité du parallélogramme,
:.
En remplaçant par pour tous les scalaires de module 1, on en déduit le résultat annoncé. (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas complexe) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) son (fr)
- En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas complexe) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) son (fr)
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