En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

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  • En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas hermitien) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) sont nombreuses.
  • In mathematics, a self-adjoint operator on a complex vector space V with inner product is an operator (a linear map A from V to itself) that is its own adjoint: . If V is finite-dimensional with a given basis, this is equivalent to the condition that the matrix of A is Hermitian, i.e., equal to its conjugate transpose A*. By the finite-dimensional spectral theorem, V has an orthonormal basis such that the matrix of A relative to this basis is a diagonal matrix with entries in the real numbers. In this article, we consider generalizations of this concept to operators on Hilbert spaces of arbitrary dimension.Self-adjoint operators are used in functional analysis and quantum mechanics. In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as position, momentum, angular momentum and spin are represented by self-adjoint operators on a Hilbert space. Of particular significance is the Hamiltonianwhich as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass m in a real potential field V. Differential operators are an important class of unbounded operators.The structure of self-adjoint operators on infinite-dimensional Hilbert spaces essentially resembles thefinite-dimensional case, that is to say, operators are self-adjoint if and only if they are unitarily equivalent to real-valued multiplication operators. With suitable modifications, this result can be extended to possibly unbounded operators on infinite-dimensional spaces. Since an everywhere defined self-adjoint operator is necessarily bounded, one needs be more attentive to the domain issue in the unbounded case. This is explained below in more detail.
  • エルミート作用素(エルミートさようそ、Hermitian operator, Hermitian)または自己共役作用素(じこきょうやくさようそ、self adjoint operator)は、複素ヒルベルト空間上の線形作用素で、その共役作用素が自分自身に一致するようなもののことである。物理学ではエルミート演算子とも呼ばれる。エルミートという名称は、フランス人数学者シャルル・エルミートに因む。
  • 작용소 이론에서, 자기수반작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator)는 힐베르트 공간 전체에 정의되고, 그 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.
  • Ein selbstadjungierter Operator ist ein linearer Operator mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der selbstadjungierten Matrix.
  • Um Operador auto-adjunto é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.
  • In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio. Nel caso di uno spazio finito-dimensionale alcuni autori utilizzano inoltre il termine operatore simmetrico per denotare un operatore autoaggiunto nel caso reale.Per il teorema di Hellinger-Toeplitz un operatore simmetrico definito ovunque è anche limitato, e se il suo aggiunto è definito ovunque ed è limitato allora l'operatore è limitato. In particolare, se un operatore simmetrico limitato non è definito su tutto lo spazio allora può essere esteso in modo unico ad un operatore definito ovunque.La matrice che rappresenta un operatore autoaggiunto è una hermitiana, ed in dimensione finita il teorema spettrale asserisce che ogni operatore autoaggiunto di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale i cui coefficienti sono reali.Gli operatori autoaggiunti sono fondamentali in vari settori della matematica e della fisica, come ad esempio la geometria differenziale, l'analisi funzionale e la meccanica quantistica.
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  • Le sens « si » est immédiat puisqu'une matrice diagonale réelle est autoadjointe. Pour la réciproque, on peut utiliser que dans un espace hermitien, tout endomorphisme normal a est diagonalisable dans une base orthonormale et que si λ est une valeur propre pour a et v un vecteur propre associé alors v est propre pour a* pour la valeur propre conjuguée. En appliquant cela à un endomorphisme a qui est non seulement normal mais autoadjoint, le cas hermitien du théorème ci-dessus est démontré. Le cas euclidien s'en déduit par complexification . Une preuve plus directe de la réciproque permet d'éviter la complexification et de traiter simultanément les cas hermitien et euclidien, en deux temps : on montre d'abord que toutes les valeurs propres de a sont réelles et qu'en dimension non nulle il en existe au moins une , puis on réduit a par récurrence sur la dimension de l'espace : *Soient A une matrice autoadjointe , λ une racine de son polynôme caractéristique , et X une matrice colonne complexe non nulle telle que AX=λX. Alors : or X*.X est non nul, donc λ est réel. *Soient a un endomorphisme autoadjoint d'un espace H euclidien ou hermitien de dimension non nulle, λ une valeur propre de a , F le sous-espace propre associé, et G son orthogonal, stable par a. Alors a se restreint en un endomorphisme autoadjoint de G, pour lequel il existe une base orthonormée propre. On conclut en complétant celle-ci par une base orthonormée de F.
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  • Université Joseph Fourier, groupe de recherches sur Cabri Géomètre
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  • Démonstration
  • Construction d'endomorphismes auto-adjoints
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  • http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoVect/Adjoint/ConstAutoAdj.html
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  • En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.
  • エルミート作用素(エルミートさようそ、Hermitian operator, Hermitian)または自己共役作用素(じこきょうやくさようそ、self adjoint operator)は、複素ヒルベルト空間上の線形作用素で、その共役作用素が自分自身に一致するようなもののことである。物理学ではエルミート演算子とも呼ばれる。エルミートという名称は、フランス人数学者シャルル・エルミートに因む。
  • 작용소 이론에서, 자기수반작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator)는 힐베르트 공간 전체에 정의되고, 그 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.
  • Ein selbstadjungierter Operator ist ein linearer Operator mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der selbstadjungierten Matrix.
  • Um Operador auto-adjunto é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.
  • In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio.
  • In mathematics, a self-adjoint operator on a complex vector space V with inner product is an operator (a linear map A from V to itself) that is its own adjoint: . If V is finite-dimensional with a given basis, this is equivalent to the condition that the matrix of A is Hermitian, i.e., equal to its conjugate transpose A*. By the finite-dimensional spectral theorem, V has an orthonormal basis such that the matrix of A relative to this basis is a diagonal matrix with entries in the real numbers.
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  • Endomorphisme autoadjoint
  • Operador autoadjunto
  • Operatore autoaggiunto
  • Selbstadjungierter Operator
  • Self-adjoint operator
  • エルミート作用素
  • 자기수반작용소
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