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- Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), . Démonstration Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Notons la matrice carrée dont la première colonne est et les autres sont nulles. On a donc et l'on peut simplifier par car le vecteur étant non nul, il en est de même de la matrice . De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre. Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule. Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, . Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ). (fr)
- Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), . Démonstration Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Notons la matrice carrée dont la première colonne est et les autres sont nulles. On a donc et l'on peut simplifier par car le vecteur étant non nul, il en est de même de la matrice . De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre. Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule. Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, . Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ). (fr)
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- Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), . Démonstration (fr)
- Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), . Démonstration (fr)
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- Promień spektralny (pl)
- Radi espectral (ca)
- Rayon spectral (fr)
- 谱半径 (zh)
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