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- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes :
* il atteint un point critique (extremum ou point-selle) au voisinage des vecteurs propres de la matrice ;
* appliqué à un vecteur propre, le quotient de Rayleigh fournit la valeur propre correspondante. Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. Le quotient de Rayleigh, dont la propriété d'extremum peut être reliée au principe du minimum de l'énergie potentielle en mécanique, a été étudié pour la première fois par Rayleigh (1877).Walter Ritz reprit l'idée en 1909 pour en faire la base d’une méthode d’approximation variationnelle. (fr)
- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes :
* il atteint un point critique (extremum ou point-selle) au voisinage des vecteurs propres de la matrice ;
* appliqué à un vecteur propre, le quotient de Rayleigh fournit la valeur propre correspondante. Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. Le quotient de Rayleigh, dont la propriété d'extremum peut être reliée au principe du minimum de l'énergie potentielle en mécanique, a été étudié pour la première fois par Rayleigh (1877).Walter Ritz reprit l'idée en 1909 pour en faire la base d’une méthode d’approximation variationnelle. (fr)
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- 1877 (xsd:integer)
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- Math. Appl. pour le Master (fr)
- Math. Appl. pour le Master (fr)
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- ;Preuve de la propriété 2 :
Dans le cas réel, la matrice symétrique est diagonalisable dans le sens où il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres telles que
:
Dans le cas complexe, la matrice hermitienne peut être diagonalisée à l’aide d’une matrice unitaire et le raisonnement est identique.
Le changement de variable préserve la norme euclidienne et ainsi
:
Dans les variables , le quotient de Rayleigh est une moyenne pondérée des valeurs propres, ce qui justifie la propriété 2.
;Preuve de la propriété 3 :
On suppose que les valeurs propres sont distinctes les unes des autres ; dans le cas contraire, il suffit de rassembler les termes de par groupes de valeurs propres multiples.
On vérifie que le gradient et la matrice hessienne de s’écrivent respectivement
:
:
où est une matrice diagonale :
:
:
Avec des valeurs propres distinctes, le gradient s’annule si et seulement si tous les sont nuls sauf un. En choisissant arbitrairement un indice et en posant , on en déduit :
:
:
: est diagonale avec
Finalement
* Si est l’une des deux valeurs propres extrêmes, il s’agit bien d’un extremum de car les éléments de sont de même signe.
* Sinon, les termes diagonaux de changent de signe et il s’agit d’un point-selle.
Remarque : reflète le caractère homogène de .
;Autre approche :
La norme de n’ayant pas d’effet par la propriété 1, on peut également formuler le problème par la méthode des multiplicateurs de Lagrange en recherchant qui maximise sous la contrainte Il s’agit ainsi de considérer la fonction
:
et de rechercher et qui annulent la différentielle de . La solution est donnée par les conditions nécessaires suivantes :
:
: (fr)
- ;Preuve de la propriété 2 :
Dans le cas réel, la matrice symétrique est diagonalisable dans le sens où il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres telles que
:
Dans le cas complexe, la matrice hermitienne peut être diagonalisée à l’aide d’une matrice unitaire et le raisonnement est identique.
Le changement de variable préserve la norme euclidienne et ainsi
:
Dans les variables , le quotient de Rayleigh est une moyenne pondérée des valeurs propres, ce qui justifie la propriété 2.
;Preuve de la propriété 3 :
On suppose que les valeurs propres sont distinctes les unes des autres ; dans le cas contraire, il suffit de rassembler les termes de par groupes de valeurs propres multiples.
On vérifie que le gradient et la matrice hessienne de s’écrivent respectivement
:
:
où est une matrice diagonale :
:
:
Avec des valeurs propres distinctes, le gradient s’annule si et seulement si tous les sont nuls sauf un. En choisissant arbitrairement un indice et en posant , on en déduit :
:
:
: est diagonale avec
Finalement
* Si est l’une des deux valeurs propres extrêmes, il s’agit bien d’un extremum de car les éléments de sont de même signe.
* Sinon, les termes diagonaux de changent de signe et il s’agit d’un point-selle.
Remarque : reflète le caractère homogène de .
;Autre approche :
La norme de n’ayant pas d’effet par la propriété 1, on peut également formuler le problème par la méthode des multiplicateurs de Lagrange en recherchant qui maximise sous la contrainte Il s’agit ainsi de considérer la fonction
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et de rechercher et qui annulent la différentielle de . La solution est donnée par les conditions nécessaires suivantes :
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- Philippe Ciarlet (fr)
- Philippe Ciarlet (fr)
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- https://books.google.fr/books?id=v4NSAlsTwnQC&pg=PA106|numéro chapitre=IV (fr)
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- Ciarlet (fr)
- Ciarlet (fr)
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- Philippe (fr)
- Philippe (fr)
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- Eléments de justification (fr)
- Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation (fr)
- The Theory of Sound (fr)
- Eléments de justification (fr)
- Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation (fr)
- The Theory of Sound (fr)
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| prop-fr:titreChapitre
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- Vibrating systems in general (fr)
- Vibrating systems in general (fr)
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- Masson (fr)
- McMillan Co. (fr)
- Masson (fr)
- McMillan Co. (fr)
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- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes : Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. (fr)
- En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x* désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x* est simplement son transposé xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes : Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. (fr)
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- Quotient de Rayleigh (fr)
- Quoziente di Rayleigh (it)
- Rayleigh-Quotient (de)
- Отношение Рэлея (ru)
- レイリー商 (ja)
- Quotient de Rayleigh (fr)
- Quoziente di Rayleigh (it)
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- レイリー商 (ja)
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