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- En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (an) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : . Ici, la suite (λn) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de s tend vers +∞, la fonction somme, si elle existe, tend vers 0. Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet. (fr)
- En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (an) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : . Ici, la suite (λn) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de s tend vers +∞, la fonction somme, si elle existe, tend vers 0. Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet. (fr)
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- . (fr)
- On peut de plus calculer, aux entiers , le résidu ou la valeur de , selon que ou :
. (fr)
- On démontre facilement que est à décroissance rapide, donc
où, pour tout , la seconde intégrale est une fonction entière. De plus, par hypothèse, possède au voisinage de un développement de la forme :
donc pour assez petit et pour tout complexe tel que :
.
Or cette série converge pour tout complexe différent des entiers et définit une fonction méromorphe, de pôles les pour tout entier naturel . Comme la fonction est entière, on obtient ainsi un prolongement méromorphe, que nous noterons encore , à tout le plan complexe :
.
Enfin, les zéros de aux points , etc. compensent les pôles simples correspondants, donc a pour seuls pôles éventuels (fr)
- . (fr)
- On peut de plus calculer, aux entiers , le résidu ou la valeur de , selon que ou :
. (fr)
- On démontre facilement que est à décroissance rapide, donc
où, pour tout , la seconde intégrale est une fonction entière. De plus, par hypothèse, possède au voisinage de un développement de la forme :
donc pour assez petit et pour tout complexe tel que :
.
Or cette série converge pour tout complexe différent des entiers et définit une fonction méromorphe, de pôles les pour tout entier naturel . Comme la fonction est entière, on obtient ainsi un prolongement méromorphe, que nous noterons encore , à tout le plan complexe :
.
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- Godfrey Harold Hardy (fr)
- Georges Valiron (fr)
- Tom M. Apostol (fr)
- Marcel Riesz (fr)
- Szolem Mandelbrojt (fr)
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- Cahen (fr)
- Petkov (fr)
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- Yger (fr)
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- Alain (fr)
- G. (fr)
- Marcel (fr)
- S. (fr)
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- Tom M. (fr)
- Vesselin (fr)
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- Démonstration (fr)
- Éléments d'analyse et d'algèbre (fr)
- Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (fr)
- Singularités analytiques des séries de Dirichlet (fr)
- Séries de Dirichlet. Principes et méthodes (fr)
- The General Theory of Dirichlet's Series (fr)
- Théorie générale des séries de Dirichlet (fr)
- Sur la fonction de Riemann et sur des fonctions analogues (fr)
- Démonstration (fr)
- Éléments d'analyse et d'algèbre (fr)
- Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (fr)
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- En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (an) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : . Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet. (fr)
- En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (an) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : . Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet. (fr)
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- Dirichletreihe (de)
- Dirichletserie (sv)
- Serie de Dirichlet (es)
- Szereg Dirichleta (pl)
- Sèrie de Dirichlet (ca)
- Série de Dirichlet (fr)
- Série de Dirichlet (pt)
- Ряд Дирихле (ru)
- ディリクレ級数 (ja)
- 狄利克雷级数 (zh)
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