| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. (fr)
|
| dbo:namedAfter
| |
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 13281 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| prop-fr:année
|
- 1993 (xsd:integer)
- 1995 (xsd:integer)
- 2000 (xsd:integer)
- 2002 (xsd:integer)
- 2007 (xsd:integer)
|
| prop-fr:auteur
| |
| prop-fr:collection
|
- Cambridge Studies in Advanced Mathematics (fr)
- Cambridge Studies in Advanced Mathematics (fr)
|
| prop-fr:contenu
|
- C'est ainsi qu'Euler découvrit cette formule. On y utilise des propriétés du crible d'Ératosthène vu ci-dessus :
Considérons l'égalité suivante qui définit la fonction zêta de Riemann :
:
Divisons tous les termes de l'égalité par , on obtient l'égalité :
:
En soustrayant la égalité de la , on élimine tous les dénominateurs « pairs » du membre de droite de l'égalité.
En mettant en facteur dans le terme de gauche, on obtient :
:
On recommence la même démarche en utilisant le nombre premier suivant, c'est-à-dire qu'on divise l'égalité précédente par et on obtient :
:
En faisant une nouvelle soustraction des deux lignes précédentes et en mettant en facteur dans le terme de gauche on obtient :
:
où tous les termes ayant un dénominateur écrit à partir d'un multiple de 2, de 3 ont été éliminés.
C'est le lien avec le crible d’Ératosthène car en continuant la même démarche, on élimine du membre de droite les termes écrits à partir des nombres premiers suivants 5, 7, 11, 13 à l'infini et on obtient :
:
En divisant de part et d'autre par tout sauf ζ on obtient bien :
:
Pour finir cette démonstration, il suffit de remarquer que pour , la somme de droite, d’où on fait progressivement « disparaître » des termes du fait du criblage, converge vers 1, ce qui découle immédiatement de la convergence des séries de Dirichlet pour ζ. (fr)
- La série de Riemann qui définit est absolument convergente, si bien que avec
:
.
On conclut par passage à la limite quand tend vers l'infini. (fr)
- frame|center|Dans cette démonstration, on utilise la méthode du crible d'Ératosthène qui sert à trier les nombres premiers.
Le schéma de cette démonstration ne fait appel qu'à des connaissances usuelles enseignées dans les lycées, ce qui justifie le qualificatif de démonstration "élémentaire". (fr)
- C'est ainsi qu'Euler découvrit cette formule. On y utilise des propriétés du crible d'Ératosthène vu ci-dessus :
Considérons l'égalité suivante qui définit la fonction zêta de Riemann :
:
Divisons tous les termes de l'égalité par , on obtient l'égalité :
:
En soustrayant la égalité de la , on élimine tous les dénominateurs « pairs » du membre de droite de l'égalité.
En mettant en facteur dans le terme de gauche, on obtient :
:
On recommence la même démarche en utilisant le nombre premier suivant, c'est-à-dire qu'on divise l'égalité précédente par et on obtient :
:
En faisant une nouvelle soustraction des deux lignes précédentes et en mettant en facteur dans le terme de gauche on obtient :
:
où tous les termes ayant un dénominateur écrit à partir d'un multiple de 2, de 3 ont été éliminés.
C'est le lien avec le crible d’Ératosthène car en continuant la même démarche, on élimine du membre de droite les termes écrits à partir des nombres premiers suivants 5, 7, 11, 13 à l'infini et on obtient :
:
En divisant de part et d'autre par tout sauf ζ on obtient bien :
:
Pour finir cette démonstration, il suffit de remarquer que pour , la somme de droite, d’où on fait progressivement « disparaître » des termes du fait du criblage, converge vers 1, ce qui découle immédiatement de la convergence des séries de Dirichlet pour ζ. (fr)
- La série de Riemann qui définit est absolument convergente, si bien que avec
:
.
On conclut par passage à la limite quand tend vers l'infini. (fr)
- frame|center|Dans cette démonstration, on utilise la méthode du crible d'Ératosthène qui sert à trier les nombres premiers.
Le schéma de cette démonstration ne fait appel qu'à des connaissances usuelles enseignées dans les lycées, ce qui justifie le qualificatif de démonstration "élémentaire". (fr)
|
| prop-fr:isbn
| |
| prop-fr:lang
| |
| prop-fr:langue
| |
| prop-fr:lienAuteur
|
- Pierre Colmez (fr)
- Jean-Benoît Bost (fr)
- Harold Davenport (fr)
- Anatolii Alexevich Karatsuba (fr)
- Pierre Colmez (fr)
- Jean-Benoît Bost (fr)
- Harold Davenport (fr)
- Anatolii Alexevich Karatsuba (fr)
|
| prop-fr:lieu
| |
| prop-fr:lireEnLigne
| |
| prop-fr:nom
|
- Davenport (fr)
- Bost (fr)
- Colmez (fr)
- Anatoliĭ A. Karat͡suba (fr)
- Biane (fr)
- Davenport (fr)
- Bost (fr)
- Colmez (fr)
- Anatoliĭ A. Karat͡suba (fr)
- Biane (fr)
|
| prop-fr:nomUrl
|
- PrimeProducts (fr)
- PrimeProducts (fr)
|
| prop-fr:numéroD'édition
| |
| prop-fr:numéroDansCollection
| |
| prop-fr:pagesTotales
|
- 172 (xsd:integer)
- 182 (xsd:integer)
- 193 (xsd:integer)
|
| prop-fr:prénom
|
- Pierre (fr)
- Philippe (fr)
- Harold (fr)
- Jean-Benoît (fr)
- Pierre (fr)
- Philippe (fr)
- Harold (fr)
- Jean-Benoît (fr)
|
| prop-fr:site
| |
| prop-fr:titre
|
- Multiplicative Number Theory (fr)
- La Fonction Zêta (fr)
- An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function (fr)
- Basic analytic number theory (fr)
- Démonstration moderne (fr)
- Démonstration élémentaire due à Euler (fr)
- Prime Products (fr)
- Multiplicative Number Theory (fr)
- La Fonction Zêta (fr)
- An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function (fr)
- Basic analytic number theory (fr)
- Démonstration moderne (fr)
- Démonstration élémentaire due à Euler (fr)
- Prime Products (fr)
|
| prop-fr:url
|
- http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter3.pdf|titre=Infinitely many primes; complex analysis (fr)
- http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter3.pdf|titre=Infinitely many primes; complex analysis (fr)
|
| prop-fr:wikiPageUsesTemplate
| |
| prop-fr:éditeur
| |
| dct:subject
| |
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. (fr)
|
| rdfs:label
|
- Euler-Produkt (de)
- Formula prodotto di Eulero (it)
- Produit eulérien (fr)
- جداء أويلر (ar)
- 欧拉乘积 (zh)
- Euler-Produkt (de)
- Formula prodotto di Eulero (it)
- Produit eulérien (fr)
- جداء أويلر (ar)
- 欧拉乘积 (zh)
|
| rdfs:seeAlso
| |
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageDisambiguates
of | |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is oa:hasTarget
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
