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- En théorie des nombres, le théorème de Cesàro , établit que la densité asymptotique des couples de nombres entiers premiers entre eux est égale à , c’est-à-dire que la proportion de tels couples dans un intervalle d’entiers ⟦1, n⟧ tend vers 6/π2 lorsque n tend vers +∞. Cette proportion peut être interprétée comme une probabilité avec une loi uniforme discrète sur le carré cartésien ⟦1,n⟧2, mais le passage à la limite n’aboutit pas à une loi de probabilité uniforme sur l’ensemble (infini) des couples d’entiers, ce qui invalide certaines démonstrations s’appuyant sur une telle loi. La constante 6/π2 est l’inverse du nombre ζ(2), où ζ est la fonction zêta de Riemann, s'exprimant sous forme de série, ou de produit eulérien : . L’expression de cette série comme fraction d’une puissance de π provient de la résolution du problème de Bâle par Leonhard Euler en 1735. Ce résultat peut se généraliser de plusieurs façons. Par exemple, la probabilité que k entiers choisis de façon équiprobable et indépendante dans un même intervalle ⟦1, n⟧ soient premiers entre eux dans leur ensemble tend vers 1/ζ(k). Un autre exemple est la probabilité que ces mêmes k entiers soient premiers entre eux deux à deux, laquelle s’approche de . On a et si . (fr)
- En théorie des nombres, le théorème de Cesàro , établit que la densité asymptotique des couples de nombres entiers premiers entre eux est égale à , c’est-à-dire que la proportion de tels couples dans un intervalle d’entiers ⟦1, n⟧ tend vers 6/π2 lorsque n tend vers +∞. Cette proportion peut être interprétée comme une probabilité avec une loi uniforme discrète sur le carré cartésien ⟦1,n⟧2, mais le passage à la limite n’aboutit pas à une loi de probabilité uniforme sur l’ensemble (infini) des couples d’entiers, ce qui invalide certaines démonstrations s’appuyant sur une telle loi. La constante 6/π2 est l’inverse du nombre ζ(2), où ζ est la fonction zêta de Riemann, s'exprimant sous forme de série, ou de produit eulérien : . L’expression de cette série comme fraction d’une puissance de π provient de la résolution du problème de Bâle par Leonhard Euler en 1735. Ce résultat peut se généraliser de plusieurs façons. Par exemple, la probabilité que k entiers choisis de façon équiprobable et indépendante dans un même intervalle ⟦1, n⟧ soient premiers entre eux dans leur ensemble tend vers 1/ζ(k). Un autre exemple est la probabilité que ces mêmes k entiers soient premiers entre eux deux à deux, laquelle s’approche de . On a et si . (fr)
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- http://serge.mehl.free.fr/anx/prem_alea.html|titre=Probabilité de choisir au hasard deux entiers premiers entre eux (fr)
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- En théorie des nombres, le théorème de Cesàro , établit que la densité asymptotique des couples de nombres entiers premiers entre eux est égale à , c’est-à-dire que la proportion de tels couples dans un intervalle d’entiers ⟦1, n⟧ tend vers 6/π2 lorsque n tend vers +∞. Cette proportion peut être interprétée comme une probabilité avec une loi uniforme discrète sur le carré cartésien ⟦1,n⟧2, mais le passage à la limite n’aboutit pas à une loi de probabilité uniforme sur l’ensemble (infini) des couples d’entiers, ce qui invalide certaines démonstrations s’appuyant sur une telle loi. . . (fr)
- En théorie des nombres, le théorème de Cesàro , établit que la densité asymptotique des couples de nombres entiers premiers entre eux est égale à , c’est-à-dire que la proportion de tels couples dans un intervalle d’entiers ⟦1, n⟧ tend vers 6/π2 lorsque n tend vers +∞. Cette proportion peut être interprétée comme une probabilité avec une loi uniforme discrète sur le carré cartésien ⟦1,n⟧2, mais le passage à la limite n’aboutit pas à une loi de probabilité uniforme sur l’ensemble (infini) des couples d’entiers, ce qui invalide certaines démonstrations s’appuyant sur une telle loi. . . (fr)
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- Théorème de Cesàro (théorie des nombres) (fr)
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