En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l'appelle parfois groupe des inversibles.Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux.

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  • En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l'appelle parfois groupe des inversibles.Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux. Dans le cas particulier de l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres algébriques, ce groupe a une structure bien connue, grâce au théorème des unités de Dirichlet. Il fait partie, comme le groupe des classes, des invariants importants des corps de nombres, et intervient souvent dans leur étude, notamment en cohomologie galoisienne.
  • 환론에서, 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 환에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.
  • In mathematics, an invertible element or a unit in a (unital) ring R refers to any element u that has an inverse element in the multiplicative monoid of R, i.e. an element v such thatuv = vu = 1R, where 1R is the multiplicative identity.The set of units of any ring is closed under multiplication (the product of two units is again a unit), and forms a group for this operation. It never contains the element 0 (except in the case of the zero ring), and is therefore not closed under addition; its complement however might be a group under addition, which happens if and only if the ring is a local ring.Unfortunately, the term unit is also used to refer to the identity element 1R of the ring, in expressions like ring with a unit or unit ring, and also e.g. 'unit' matrix. (For this reason, some authors call 1R "unity" or "identity", and say that R is a "ring with unity" or a "ring with identity" rather than a "ring with a unit".)The multiplicative identity 1R and its opposite −1R are always units. Hence, pairs of additive inverse elements x and −x are always associated.
  • En un anell, una unitat és un element invertible de l'anell, és a dir, aquell pel qual n'existeix un altre, anomenat invers, tal que el producte entre aquests dos dóna com a resultat l'element neutre respecte del producte. El subconjunt de les unitats d'un anell té estructura de grup amb el producte.En un cos, com que tot element no nul és invertible, tots són unitats excepte l'element 0.
  • 数学、とくに代数学における可逆元(かぎゃくげん、英: invertible element)または単元(たんげん、英: unit)とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
  • En matemática, especialmente en Álgebra abstracta, el término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anillo R con identidad multiplicativa 1R, se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R conu·v = v·u = 1R.Donde la operación · es la operación multiplicativa del anillo R.Elementos de esta naturaleza cumplen El inverso multiplicativo es único El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.
  • Jednotka neboli invertibilní prvek je v teorii okruhů takový prvek u nějakého okruhu R, pro který existuje v daném okruhu inverzní prvek, tedy prvek v splňujícíuv = vu = 1R,kde symbolem 1R rozumíme jednotkový prvek.
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  • La relation est associé à est réflexive car si x est un élément de l'anneau x = 1x, elle est symétrique car si y est un élément de l'anneau et u une unité tel que x = u. y, alors y = ux ; enfin elle est transitive car si x, y et z sont des éléments de l'anneau tel qu'il existe u et v dans le groupe des unités avec x = u.y et y = vz, alors x = uv z et uv est inversible. C'est donc une relation d'équivalence. Soit x et y deux éléments de l'anneau, si x est associé à y alors x divise y et y divise x, la relation d'association est bien compatible avec la relation de division. De plus si x divise y et si y divise x alors il existe deux éléments u et v tel que y = ux et x = vy ce qui montre que x = uvx. Si x est nul alors y = ux = 0 = x. Si x est non nul, comme l'anneau est intègre, uv est égal à 1 donc u et v sont des unités. En conclusion x est associé à y, ce qui montre que la relation de division sur le quotient de l'anneau est antisymétrique. Enfin si x divise y et si y divise z alors il existe a et b éléments de l'anneau tel que y = ax et z = by donc z = abx et la relation est transitive. En conclusion la relation de division est une relation d'ordre sur le quotient de l'anneau par la relation d'association.
  • ;U est stable par produit et passage à l'inverse :Si x est inversible dans A, il possède un inverse y ; et y possède alors un inverse dans A, qui est précisément x ! Donc, l'inverse d'un élément inversible est inversible. :Si x et y sont des unités de A, alors y-1x-1 est un inverse de xy. En effet, l'associativité donne: :. :Par conséquent, le produit de deux inversibles est inversible. :L'associativité de la multiplication est garantie par les propriétés de l'anneau et l'existence d'un élément neutre par le fait que l'anneau est choisi unifère. ;L'image d'un inversible est inversible :Soit un élément inversible x d'un anneau unifère A. Notons y l'inverse de x dans A. Soit un homomorphisme d'anneaux unifères f de A dans B. Comme xy = 1 dans A, il vient : ff = f = 1. Par conséquent, f est inversible dans B .
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  • Démonstrations
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  • En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l'appelle parfois groupe des inversibles.Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux.
  • 환론에서, 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 환에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.
  • En un anell, una unitat és un element invertible de l'anell, és a dir, aquell pel qual n'existeix un altre, anomenat invers, tal que el producte entre aquests dos dóna com a resultat l'element neutre respecte del producte. El subconjunt de les unitats d'un anell té estructura de grup amb el producte.En un cos, com que tot element no nul és invertible, tots són unitats excepte l'element 0.
  • 数学、とくに代数学における可逆元(かぎゃくげん、英: invertible element)または単元(たんげん、英: unit)とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
  • En matemática, especialmente en Álgebra abstracta, el término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anillo R con identidad multiplicativa 1R, se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R conu·v = v·u = 1R.Donde la operación · es la operación multiplicativa del anillo R.Elementos de esta naturaleza cumplen El inverso multiplicativo es único El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.
  • Jednotka neboli invertibilní prvek je v teorii okruhů takový prvek u nějakého okruhu R, pro který existuje v daném okruhu inverzní prvek, tedy prvek v splňujícíuv = vu = 1R,kde symbolem 1R rozumíme jednotkový prvek.
  • In mathematics, an invertible element or a unit in a (unital) ring R refers to any element u that has an inverse element in the multiplicative monoid of R, i.e. an element v such thatuv = vu = 1R, where 1R is the multiplicative identity.The set of units of any ring is closed under multiplication (the product of two units is again a unit), and forms a group for this operation.
rdfs:label
  • Groupe des unités
  • Eenheid (algebra)
  • Einheit (Mathematik)
  • Element odwracalny
  • Jednotka (teorie okruhů)
  • Unidad (álgebra)
  • Unidade (teoria dos anéis)
  • Unit (ring theory)
  • Unitat (àlgebra)
  • Обратимый элемент
  • 可逆元
  • 가역원
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