En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles, cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible.

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  • En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles, cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible. Les exemples d'anneau factoriel ne sont pas rares. Tout anneau principal (c'est-à-dire intègre et dont tout idéal est principal) est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel k est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau k est un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal.Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.
  • Pierścień z jednoznacznością rozkładu (pierścień Gaussa, UFD, od ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała
  • In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numero primi.
  • Факториа́льное кольцо́ — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент Шаблон:Mvar либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.Факториальные кольца можно изобразить на следующей цепочке включений: Коммутативные кольца ⊃ целостные кольца ⊃ факториальные кольца ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы кольца ⊃ поля
  • Gaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů.Každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem a Gaussův obor je vždy oborem integrity. Pro každé dva prvky Gaussova oboru existuje největší společný dělitel a nejmenší společný násobek.
  • Un dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio de integridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto de elementos primos (o elementos irreducibles). En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si es irreducible.
  • 추상대수학에서, 유일인수분해정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD)은 0이 아닌 원소를 소원소(prime element)로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 인수분해가능성을 일반화한 것이다. UFD는 종종 부르바키 학파의 표기법에 따라 인자환(factorial ring)이라고 불리기도 한다.유일인수분해정역은 정역의 한 종류이며, 다른 종류의 정역과 다음과 같은 관계가 있다: 정역 ⊃ 유일인수분해정역 ⊃ 주 아이디얼 정역 ⊃ 유클리드 정역 ⊃ 체
  • In mathematics, a unique factorization domain (UFD) is a commutative ring in which every non-zero non-unit element can be written as a product of prime elements (or irreducible elements), uniquely up to order and units, analogous to the fundamental theorem of arithmetic for the integers. UFDs are sometimes called factorial rings, following the terminology of Bourbaki.Unique factorization domains appear in the following chain of class inclusions: Commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields
  • In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden.Merk op dat een unieke factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen: velden ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringenIeder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein maar het omgekeerde is niet waar.
  • 数学における一意分解環(いちいぶんかいかん、英: unique factorization domain,UFD; 一意分解整域)あるいは素元分解環(そげんぶんかいかん)は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに(特別の例外を除く)各元が素元(あるいは既約元)の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。 可換環 ⊃ 可換整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体
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  • Si n = 1 alors a est irréductible, m est aussi égal à 1 et la proposition est démontrée.
  • Si P = r1 … rnS1 … Sm' en est une autre alors, par "unicité" de la décomposition de P dans K[X], m' = m et Si = uiQi où ui est a priori dans K, mais est en fait égal au contenu de Si, donc est un élément inversible de A. Par élimination, les deux produits p1 … pn et r1 … rn' sont donc associés dans A. Par factorialité de A, ils ont alors mêmes facteurs , ce qui termine la preuve d'unicité de la décomposition de P dans A[X]. * Soit n un entier naturel, l'anneau A[X1, … , Xn] est factoriel :'
  • Supposons maintenant P primitif et montrons qu'il est réductible dans K[X] si et seulement s'il l'est dans A[X]. Si P est réductible dans K[X] alors il existe deux polynômes B et C dans K[X], non nuls et non inversibles, donc non constants, tels que P = B.C. La proposition précédente montre l'existence dans A[X] de deux polynômes Q et R de mêmes degrés respectifs que B et C, donc non inversibles, tels que : si bien que P est réductible dans A[X]. Réciproquement, si P est réductible dans A[X], c'est-à-dire produit de deux éléments non inversibles de A[X] alors les deux facteurs sont non constants, donc non inversibles dans K[X], si bien que P est réductible dans K[X]. * L'anneau A[X] est factoriel :
  • Soit a et b deux éléments non nuls de A. L'unicité de la décomposition montre aussi que σ = σ + σ. Ainsi si c divise strictement a, alors σ est strictement plus grand que σ. **Toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire :
  • * Si A vérifie les deux propriétés et alors il est factoriel :
  • La méthode usuelle, pour démontrer l'existence et l'"unicité" de la décomposition d'un élément non nul P de A[X] en produit d'irréductibles, consiste à utiliser sa décomposition dans l'anneau K[X], dont on sait qu'il est factoriel .
  • C'est une simple reformulation du lemme d'Euclide.
  • Il s'agit de prouver que si P est irréductible dans A[X] alors il est primitif, et que si P est primitif alors son irréductibilité dans A[X] équivaut à celle dans K[X].
  • Soit σ la fonction de A\{0} dans l'ensemble N des entiers naturels qui à a associe le nombre de facteurs non inversibles dans la décomposition en facteurs irréductibles de a. L'unicité de la décomposition dans un anneau factoriel montre que la fonction σ est bien définie.
  • Soit P = P1 … Pm une décomposition de P en produit d'éléments irréductibles Pi de K[X]. Pour chaque indice i, notons ci « le » contenu de Pi, et Qi le polynôme primitif Pi/ci. D'après la proposition précédente, les Qi sont irréductibles dans A[X]. Or P = c Q1 … Qm, en notant c le produit des ci. Cet élément c est égal au contenu de P, donc il appartient à A. Notons alors c = p1 … pn « sa » décomposition en irréductibles dans A. On obtient une décomposition de P en produit d'irréductibles de A[X] : P = p1 … pnQ1 … Qm.
  • Si P est à coefficients dans A, il suffit de poser cont = le pgcd de ses coefficients : le quotient de P par cet élément de A sera bien primitif. Si maintenant les coefficients de P sont seulement dans K, c'est-à-dire sont des fractions d'éléments de A, on se ramène au cas précédent en réduisant ces fractions à un dénominateur commun b : P s'écrit R / b avec b élément non nul de A et R polynôme à coefficients dans A, auquel le début du raisonnement s'applique. De R = contQ avec Q primitif on déduit ainsi P = Q, ce qui montre la proposition. * Le contenu d'un polynôme non nul est unique à produit près par un élément inversible de A :
  • On construit par récurrence une suite de la manière suivante : a0 est égal à a, supposons la suite définie jusqu'à l'ordre n – 1 ; si a'n–1 est irréductible alors an est égal à a'n–1, sinon an est un diviseur strict de a'n–1. L'élément b de A est dit diviseur strict de a'n–1 s'il n'est pas inversible et s'il existe un élément c de A non inversible tel que bc soit égal à an–1.
  • En vue de montrer cette implication, une décomposition de la démonstration est utile. Soient A un anneau vérifiant les hypothèses de la première définition et a un élément de A, non nul et non inversible. **Il existe un élément irréductible qui divise a :
  • Cette proposition se déduit de la précédente par récurrence sur le nombre n d'indéterminées, en utilisant l'isomorphisme naturel d'anneaux entre A[X1, … , Xn – 1][Xn] et A[X1, … , Xn].
  • * Tout polynôme P non nul à coefficients dans A possède un contenu appartenant à A :
  • L'égalité suivante et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure : * Si l'anneau est factoriel alors il vérifie les propriétés et :
  • Si P est à coefficients dans A, son contenu ne peut être que le pgcd de ses coefficients. Il est donc déterminé de façon unique à produit près par un inversible. Si maintenant P = R / b avec les mêmes notations que précédemment, de P = contQ on déduit R = b.contQ donc cont = b.cont, si bien que le contenu de P, égal au quotient par b de celui de R, est, comme lui, déterminé de façon unique à produit près par un inversible. * Soient P et Q deux polynômes non nuls à coefficients dans K, l'égalité suivante est vérifiée, à produit près par un élément inversible de A :Par définition du contenu, on peut supposer que P et Q sont à coefficients dans A, et il suffit de montrer qu'alors, s'ils sont primitifs, leur produit l'est aussi. Or si p est un élément irréductible de A et si r est le plus grand des indices des coefficients de P non divisibles par p, alors le coefficient d'indice r+s de P.Q est une somme de produits dont tous sauf un sont divisibles par p, de sorte que cette somme n'est pas divisible par p. Ainsi, aucun élément irréductible p de A n'est un diviseur commun à tous les coefficients de P.Q, et ce polynôme produit est donc bien primitif. * Soit P un polynôme non constant à coefficients dans A. Le polynôme est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif dans A[X] et irréductible dans K[X] :
  • Supposons P irréductible dans A[X] et observons la décomposition P = contQ : les deux facteurs sont dans A[X], donc l'un des deux doit être inversible, or ce ne peut pas être Q . Par conséquent cont est inversible dans A[X] donc dans A, si bien que P est primitif.
  • Soit une suite croissante d'idéaux principaux. Si la suite est constante égale à 0, la suite est stationnaire. Sinon, quitte à réindexer la suite, supposons que a0 n'est pas nul. Dire que l'idéal a'n+1A contient strictement l'idéal anA signifie que a'n+1 divise strictement an. Cela ne peut arriver que pour un nombre fini d'entiers n, ce qui montre que la suite est constante à partir d'un certain rang, c'est-à-dire stationnaire. **Soit p un élément irréductible de A, l'idéal pA est premier :
  • On suppose l'existence de deux décompositions :Montrons la proposition par récurrence sur n.
  • La suite des idéaux principaux est croissante ; la première partie de la définition indique qu'elle est stationnaire à partir d'un certain rang, noté ici m. Le fait que la suite soit stationnaire montre que am est irréductible. Par construction, il divise a. ** Il existe une suite finie p1, …, pn d'éléments irréductibles tels que :Si a est irréductible, la proposition est évidente : on prend n = 1 et p1 = a. Sinon, le résultat précédent montre l'existence d'un élément irréductible p1 et d'un élément u1 non inversible tels que a = p1u1. Si u1 est irréductible, la proposition est démontrée ; s'il ne l'est pas, il existe un élément p2 irréductible et un élément u2 non inversible tels que a = p1p2u2. En réitérant le raisonnement on trouve soit un élément un irréductible et la proposition est démontrée, soit une suite infinie . La suite des idéaux est alors strictement croissante, ce qui est impossible. Cette impossibilité démontre la proposition. **La décomposition en facteurs irréductibles est unique :
  • Supposons la proposition démontrée à l'ordre n – 1, et montrons-la à l'ordre n. L'élément pn divise le produit q1 …qm, on en déduit que l'idéal pnA contient q1 …qm. Comme cet idéal est premier, il contient l'un des qk ; ce qk est donc un multiple de pn. Comme l'élément qk est irréductible, il existe un élément inversible u tel que pn = u qk.
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  • P. M.
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  • Paul Cohn
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  • Démonstration
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  • En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles, cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible.
  • In algebra, un dominio a fattorizzazione unica (o anello a fattorizzazione unica; spesso abbreviato in UFD, dall'inglese Unique Factorization Domain) è un dominio in cui vale un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, ovvero in cui ogni elemento può essere scritto in modo unico come prodotto di elementi primi, analogamente a quanto accade per i numeri interi e la scomposizione in numero primi.
  • Gaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů.Každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem a Gaussův obor je vždy oborem integrity. Pro každé dva prvky Gaussova oboru existuje největší společný dělitel a nejmenší společný násobek.
  • Un dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio de integridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto de elementos primos (o elementos irreducibles). En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si es irreducible.
  • 추상대수학에서, 유일인수분해정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD)은 0이 아닌 원소를 소원소(prime element)로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 인수분해가능성을 일반화한 것이다. UFD는 종종 부르바키 학파의 표기법에 따라 인자환(factorial ring)이라고 불리기도 한다.유일인수분해정역은 정역의 한 종류이며, 다른 종류의 정역과 다음과 같은 관계가 있다: 정역 ⊃ 유일인수분해정역 ⊃ 주 아이디얼 정역 ⊃ 유클리드 정역 ⊃ 체
  • In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een uniek factorisatiedomein, UFD, een commutatieve ring, waarin elk element dat geen nul is en geen eenheid op een unieke manier kan worden geschreven als een product van priemelementen, op dezelfde manier dat de gehele getallen in priemgetallen kunnen worden ontbonden.Merk op dat een unieke factorisatiedomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen: velden ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringenIeder hoofdideaaldomein is een uniek factorisatiedomein maar het omgekeerde is niet waar.
  • 数学における一意分解環(いちいぶんかいかん、英: unique factorization domain,UFD; 一意分解整域)あるいは素元分解環(そげんぶんかいかん)は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに(特別の例外を除く)各元が素元(あるいは既約元)の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。 可換環 ⊃ 可換整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体
  • Pierścień z jednoznacznością rozkładu (pierścień Gaussa, UFD, od ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników.
  • Факториа́льное кольцо́ — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент Шаблон:Mvar либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые).
  • In mathematics, a unique factorization domain (UFD) is a commutative ring in which every non-zero non-unit element can be written as a product of prime elements (or irreducible elements), uniquely up to order and units, analogous to the fundamental theorem of arithmetic for the integers.
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  • Anneau factoriel
  • Anell factorial
  • Dominio a fattorizzazione unica
  • Dominio de factorización única
  • Domínio fatorial
  • Faktorieller Ring
  • Gaussův obor integrity
  • Pierścień z jednoznacznością rozkładu
  • Uniek factorisatiedomein
  • Unique factorization domain
  • Факториальное кольцо
  • 一意分解環
  • 유일인수분해정역
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