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About: http://fr.dbpedia.org/resource/Développement_décimal_de_l'unité

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En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé.

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  • En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé. Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une infinité de 9, comme 18,32 = 18,31999…. L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour caractériser l'. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples. L'égalité 0,999… = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité. Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement 0,999… finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels, mais il existe d'autres systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines. (fr)
  • En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé. Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une infinité de 9, comme 18,32 = 18,31999…. L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour caractériser l'. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples. L'égalité 0,999… = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité. Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement 0,999… finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels, mais il existe d'autres systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines. (fr)
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  • A Home and Business Reference (fr)
  • Early Transcendentals (fr)
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  • A Very Short Introduction (fr)
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  • Mathematical beliefs and conceptual understanding of the limit of a function (fr)
  • Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics (fr)
  • Automatic differentiation as nonarchimedean analysis (fr)
  • Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus (fr)
  • Conflicts in the learning of real numbers and limits (fr)
  • Infinite processes in elementary mathematics: how much should we tell the children ? (fr)
  • Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology (fr)
  • A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics (fr)
  • A First Course in Analysis (fr)
  • A First Course in Real Analysis (fr)
  • A system isomorphic to the reals (fr)
  • Ambiguous numbers are dense (fr)
  • An infinite question: Why doesn't .999~ = 1? (fr)
  • Arithmetic for Schools (fr)
  • Einführung in die höhere Mathematik (fr)
  • Equality involved in 0.999… and (fr)
  • Everything and More (fr)
  • Nonstandard student conceptions about infinitesimals (fr)
  • Foolproof: a sampling of mathematical folk humor (fr)
  • Functions of One Complex Variable I (fr)
  • How Mathematicians Think (fr)
  • Infinitesimals (fr)
  • Introduction to Analysis (fr)
  • Introduction to Real Analysis (fr)
  • Intuitions of infinity (fr)
  • Is 0.999… = 1? (fr)
  • The age of Newton: an intensive interdisciplinary course (fr)
  • Mathematical Fallacies and Paradoxes (fr)
  • Merriam-Webster's Guide to Everyday Math (fr)
  • Non-standard Analysis (fr)
  • Principles of Mathematical Analysis (fr)
  • Real Mathematical Analysis (fr)
  • The Foundations of Mathematics (fr)
  • The Story of Mathematics (fr)
  • The repeating integer paradox (fr)
  • Thomas' Calculus (fr)
  • To Infinity and Beyond (fr)
  • Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university (fr)
  • Understanding Infinity (fr)
  • Unique developments in non-integer bases (fr)
  • When is .999… less than 1 ? (fr)
  • Winning Ways for your Mathematical Plays (fr)
  • Surprises from mathematics education research: Student use of mathematical definitions (fr)
  • sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1? (fr)
  • Euclid in the Rainforest : Discovering Universal Truths in Logic and Math (fr)
  • Using self-similarity to find length, area, and dimension (fr)
  • Zooming in on infinitesimal 1 − .9.. in a post-triumvirate era (fr)
  • Real mathematic: one aspect of the future of A-level (fr)
  • The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann (fr)
  • Do Real numbers really move? Language, thought, and gesture: the embodied cognitive foundations of mathematics (fr)
  • Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures (fr)
  • Following Students'Development in a Traditional University Analysis Course (fr)
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  • Chap. : Reihenzahlen (fr)
  • Philosophy of mathematics and mathematics education (fr)
  • Chap. : Reihenzahlen (fr)
  • Philosophy of mathematics and mathematics education (fr)
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  • Perspectives on Mathematical Practices (fr)
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  • En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé. (fr)
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