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Stelling van Abel-Ruffini Teorema di Abel-Ruffini Satz von Abel-Ruffini Théorème d'Abel (algèbre) アーベル-ルフィニの定理 Teorema de Abel-Ruffini Teorema d'Abel-Ruffini Теорема Абеля — Руффіні
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En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de ax2 + bx + c = 0 sous la forme (–b ± √b2 – 4ac)/2a.
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Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux Abel’s Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability Basic Algebra
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Galois Theory of Equations
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En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de ax2 + bx + c = 0 sous la forme (–b ± √b2 – 4ac)/2a. Ce résultat est exprimé pour la première fois par Paolo Ruffini, puis démontré rigoureusement par Niels Henrik Abel. Un théorème ultérieur d'Évariste Galois donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Cette version plus précise permet d'exhiber des équations de degré 5, à coefficients entiers, dont les racines complexes — qui existent d'après le théorème de d'Alembert-Gauss — ne s'expriment pas par radicaux. Tous les corps considérés dans cet article sont supposés commutatifs et de caractéristique nulle.