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- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19). Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus[réf. nécessaire]. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle. Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps. (fr)
- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19). Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus[réf. nécessaire]. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle. Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps. (fr)
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- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. (fr)
- En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c. Une généralisation est : Lemme de Gauss — Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. (fr)
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