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- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : Aucune justification rigoureuse de cette identité n'était alors disponible. En 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel et d'autres recherchèrent des méthodes générales pour sommer des séries divergentes, c'est-à-dire donner une valeur à leur somme. Dans le cas de la série 1 – 2 + 3 – 4 + …, nombre de ces méthodes aboutissent bien à la valeur 1⁄4, par exemple la sommation d'Abel, mais d'autres non, comme le lemme de Cesàro, qui échoue à déterminer une somme. Cette série et la série de Grandi sont liées et Euler les considérait comme des cas particuliers des séries de puissances alternées (1 − 2n + 3n − 4n + …, pour n entier positif quelconque). Cette étude prenait racine dans le problème de Bâle, pour en venir à considérer les équations fonctionnelles des fonctions êta de Dirichlet et zêta de Riemann. (fr)
- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : Aucune justification rigoureuse de cette identité n'était alors disponible. En 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel et d'autres recherchèrent des méthodes générales pour sommer des séries divergentes, c'est-à-dire donner une valeur à leur somme. Dans le cas de la série 1 – 2 + 3 – 4 + …, nombre de ces méthodes aboutissent bien à la valeur 1⁄4, par exemple la sommation d'Abel, mais d'autres non, comme le lemme de Cesàro, qui échoue à déterminer une somme. Cette série et la série de Grandi sont liées et Euler les considérait comme des cas particuliers des séries de puissances alternées (1 − 2n + 3n − 4n + …, pour n entier positif quelconque). Cette étude prenait racine dans le problème de Bâle, pour en venir à considérer les équations fonctionnelles des fonctions êta de Dirichlet et zêta de Riemann. (fr)
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- Davis (fr)
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- Shaughan (fr)
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- Mémoires de l’académie des sciences de Berlin (fr)
- Mémorial des sciences mathématiques (fr)
- Mémoires de l’académie des sciences de Berlin (fr)
- Mémorial des sciences mathématiques (fr)
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| prop-fr:sousTitre
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- An Introduction (fr)
- An Introduction (fr)
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| prop-fr:titre
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- Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (fr)
- Divergent Series (fr)
- Analysis (fr)
- The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann (fr)
- The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics (fr)
- Euler and Infinite Series (fr)
- Fourier Analysis and Its Applications (fr)
- Fourier Series and Orthogonal Functions (fr)
- The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925 (fr)
- La sommation des séries divergentes (fr)
- Summability methods for divergent series (fr)
- Understanding the Infinite (fr)
- Distributions in the Physical and Engineering Sciences (fr)
- Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (fr)
- Series : Fundamental Concepts with Historical Exposition (fr)
- Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (fr)
- Divergent Series (fr)
- Analysis (fr)
- The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann (fr)
- The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics (fr)
- Euler and Infinite Series (fr)
- Fourier Analysis and Its Applications (fr)
- Fourier Series and Orthogonal Functions (fr)
- The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925 (fr)
- La sommation des séries divergentes (fr)
- Summability methods for divergent series (fr)
- Understanding the Infinite (fr)
- Distributions in the Physical and Engineering Sciences (fr)
- Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (fr)
- Series : Fundamental Concepts with Historical Exposition (fr)
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- Lucas Willis et Thomas J Osler (fr)
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- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : (fr)
- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : (fr)
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- 1 − 2 + 3 − 4 + ... (ca)
- 1 − 2 + 3 − 4 + · · · (es)
- 1 − 2 + 3 − 4 + … (zh)
- 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (pt)
- 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (sv)
- 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (vi)
- 1−2+3−4+… (ja)
- Alternierende Reihe (Euler) (de)
- Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … (pl)
- Série alternée des entiers (fr)
- Знакочередующийся ряд натуральных чисел (ru)
- 1 − 2 + 3 − 4 + ... (ca)
- 1 − 2 + 3 − 4 + · · · (es)
- 1 − 2 + 3 − 4 + … (zh)
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- 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (sv)
- 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (vi)
- 1−2+3−4+… (ja)
- Alternierende Reihe (Euler) (de)
- Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … (pl)
- Série alternée des entiers (fr)
- Знакочередующийся ряд натуральных чисел (ru)
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