En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix modulo les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.

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  • En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix modulo les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.Le lemme de Zorn a des applications aussi bien en topologie, comme le théorème de Tychonov, qu'en analyse fonctionnelle, comme le théorème de Hahn-Banach, ou en algèbre, comme le théorème de Krull ou l'existence d'une clôture algébrique. Il doit son nom au mathématicien Max Zorn qui, dans un article de 1935, en donnait le premier un grand nombre d'applications, en redémontrant des résultats connus d'algèbre. Cependant Kazimierz Kuratowski en avait déjà publié une version en 1922, et plusieurs mathématiciens, à commencer par Felix Hausdorff en 1907, avaient introduit des principes de maximalité proches du lemme de Zorn.
  • Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht. Es ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Max Zorn, der es 1935 entdeckte (unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922), und verwandt mit Hausdorffs Maximalkettensatz von 1914.
  • 수학에서, 초른의 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리이다.
  • Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.
  • O Lema de Zorn é um axioma da Teoria dos Conjuntos, normalmente apresentado como:Se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha.O nome faz referência ao matemático Max Zorn, mas sua primeira formulação se deve ao matemático polonês Kazimierz Kuratowski.
  • A Zorn-lemma, vagy más néven Kuratowski–Zorn-lemma, a halmazelmélet egyik (rendezett halmaz tekintetében fennálló) maximális elem létezését állító tétele. Eszerint:Ha egy nemüres részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] minden lánc felülről korlátos, akkor az adott részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] van maximális elem.A lemma állítása nem tűnik „nyilvánvaló” állításnak, ellentétben a kiválasztási axióma által megfogalmazott állítással, amivel azonban ekvivalens.
  • Лемма Цорна (англ. Zorn's lemma), также известная как лемма Куратовского — Цорна (англ. Kuratowski – Zorn lemma), утверждает: Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент.Лемма носит имена немецкого математика Макса Цорна и польского математика Казимира Куратовского.Лемма Цорна, наряду с теоремой Цермело (принцип вполнеупорядочивания) и принципом максимума Хаусдорфа (который, по сути, является альтернативной формулировкой леммы Цорна), является одним из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора.
  • Zorn's lemma, also known as the Kuratowski–Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.
  • El lema de Zorn o axioma de Zorn és un enunciat en teoria de conjunts, equivalent a l'axioma de l'elecció, que sovint s'usa per demostrar l'existència d'un objecte matemàtic que no es pot obtenir explícitament. El seu nom prové del matemàtic Max Zorn.La formulació més curta és que cada conjunt ordenat inductivament té un element maximal o el que és el mateix: Cada conjunt parcialment ordenat en el que cada cadena (i.e. un subconjunt totalment ordenat) té una cota superior, conté com a mínim un element maximal.A continuació concretarem la definició d'aquests termes. Suposem que (P,≤) és un conjunt parcialment ordenat. Un subconjunt seu T és totalment ordenat si per a qualssevol s, t elements de T es dóna alguna de les comparacions s ≤ t o bé t ≤ s. Aquest conjunt T té una cota superior u de P si t ≤ u per a tot t dins de T. Observeu que u és un element de P però no cal que sigui element de la cadena T. Finalment, un element maximal de P és un element m dins de P tal que no hi ha cap altre element x de P que sigui diferent de m i faci m ≤ x.
  • Seçme aksiyomuna eşdeğer bir önermedir şunu söyler;Kısmi sıralanmış bir küme alın bu kümedeki her zincir için kümede zincirin her elemanından daha büyük bir eleman olsun,bu durumda kümede kendisinden daha büyük eleman olmayan bir eleman vardır.
  • El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.Debe su nombre al matemático Max Zorn.Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualesquiera s, t ∈ T se tiene s ≤ t o t ≤ s. Tal conjunto T tiene una cota superior u ∈ P si t ≤ u para cualquier t ∈ T; no se necesita que u sea miembro de T. Un elemento m ∈ P es maximal si el único x ∈ P tal que m ≤ x es m mismo.Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.
  • ツォルンの補題(ツォルンのほだい、Zorn's lemma)、または、クラトフスキ・ツォルンの補題(クラトフスキ・ツォルンのほだい)とは、「任意の空でない帰納的順序集合(定義は後述)は、極大元を持つ」という定理である。数学者のマックス・ツォルンに因み、この名で呼ばれる。この定理は選択公理と同値である。
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna – twierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.
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  • Nicolas Bourbaki
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  • Bourbaki
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  • Lemme de Zorn
  • Lemme de Zorn pour l'inclusion.
  • Principe de maximalité de Hausdorff.
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  • Référence:Algèbre
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  • Algebra
  • A remark on method in transfinite algebra
  • Equivalents of the Axiom of Choice, II
  • Notes on set theory
  • The Origin of “Zorn's Lemma”
  • Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques
  • Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence
  • Éléments de mathématique, Théorie des ensembles
  • The Mathematical Import of Zermelo's Well-Ordering Theorem
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  • part I §4 : Maximal principles
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  • Hermann
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  • Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.
  • Tout ensemble ordonné contient une chaîne maximale pour l'inclusion .
  • Si un ensemble non vide d'ensembles est tel que la réunion de toute chaîne non vide pour l'inclusion d'éléments de est encore un élément de , alors possède un élément maximal pour l'inclusion.
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  • En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix modulo les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.
  • Das Lemma von Zorn, auch bekannt als Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Mengenlehre, genauer gesagt, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht. Es ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Max Zorn, der es 1935 entdeckte (unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922), und verwandt mit Hausdorffs Maximalkettensatz von 1914.
  • 수학에서, 초른의 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리이다.
  • Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.
  • O Lema de Zorn é um axioma da Teoria dos Conjuntos, normalmente apresentado como:Se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha.O nome faz referência ao matemático Max Zorn, mas sua primeira formulação se deve ao matemático polonês Kazimierz Kuratowski.
  • A Zorn-lemma, vagy más néven Kuratowski–Zorn-lemma, a halmazelmélet egyik (rendezett halmaz tekintetében fennálló) maximális elem létezését állító tétele. Eszerint:Ha egy nemüres részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] minden lánc felülről korlátos, akkor az adott részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] van maximális elem.A lemma állítása nem tűnik „nyilvánvaló” állításnak, ellentétben a kiválasztási axióma által megfogalmazott állítással, amivel azonban ekvivalens.
  • Zorn's lemma, also known as the Kuratowski–Zorn lemma, is a proposition of set theory that states:Suppose a partially ordered set P has the property that every chain (i.e. totally ordered subset) has an upper bound in P. Then the set P contains at least one maximal element.It is named after the mathematicians Max Zorn and Kazimierz Kuratowski.
  • Seçme aksiyomuna eşdeğer bir önermedir şunu söyler;Kısmi sıralanmış bir küme alın bu kümedeki her zincir için kümede zincirin her elemanından daha büyük bir eleman olsun,bu durumda kümede kendisinden daha büyük eleman olmayan bir eleman vardır.
  • ツォルンの補題(ツォルンのほだい、Zorn's lemma)、または、クラトフスキ・ツォルンの補題(クラトフスキ・ツォルンのほだい)とは、「任意の空でない帰納的順序集合(定義は後述)は、極大元を持つ」という定理である。数学者のマックス・ツォルンに因み、この名で呼ばれる。この定理は選択公理と同値である。
  • Het lemma van Zorn (ook bekend als het lemma van Kuratowski-Zorn) is een bewering uit de verzamelingenleer. Het lemma luidt als volgt: Elke gedeeltelijk geordende verzameling waarin elke keten (dat wil zeggen totaal geordende deelverzameling) een bovengrens heeft bevat ten minste een maximaal element. Het lemma is vernoemd naar de wiskundigen Max Zorn en Kazimierz Kuratowski.De termen zijn als volgt gedefinieerd. Stel dat (P,≤) een partieel geordende verzameling is.
  • El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.Debe su nombre al matemático Max Zorn.Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado.
  • El lema de Zorn o axioma de Zorn és un enunciat en teoria de conjunts, equivalent a l'axioma de l'elecció, que sovint s'usa per demostrar l'existència d'un objecte matemàtic que no es pot obtenir explícitament. El seu nom prové del matemàtic Max Zorn.La formulació més curta és que cada conjunt ordenat inductivament té un element maximal o el que és el mateix: Cada conjunt parcialment ordenat en el que cada cadena (i.e.
  • Лемма Цорна (англ. Zorn's lemma), также известная как лемма Куратовского — Цорна (англ.
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna – twierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna.
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  • Lema de Zorn
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna
  • Lemma di Zorn
  • Lemma van Zorn
  • Lemma von Zorn
  • Princip maximality
  • Zorn önsavı
  • Zorn's lemma
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  • Лемма Куратовского — Цорна
  • ツォルンの補題
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