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Teorema de Hahn-Banach Hahn–Banach theorem Stelling van Hahn-Banach Теорема Гана — Банаха Teorema di Hahn-Banach Teorema de Hahn–Banach ハーン–バナッハの定理 Théorème de Hahn-Banach Satz von Hahn-Banach
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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions. En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle. Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.
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Quitte à faire préalablement une translation, on supposera que l'origine est dans . Dès lors, puisque ne rencontre pas , c'est donc un sous-espace affine évitant l'origine. Notons la jauge du convexe . Elle est sous-linéaire et donc convexe ; par définition même d'une jauge, il est évident que pour tout dans , . Comme on a supposé ouvert, on peut aller un peu plus loin : d'une part est un voisinage de 0 et toute demi-droite ouverte issue de 0 contient donc des points de , ce dont on déduit que ne prend pas la valeur ; d'autre part, on peut améliorer l'inégalité large et préciser sans peine que les points de sont caractérisés par l'inéquation stricte . Voilà pour la fonction sous-linéaire. Notons le sous-espace vectoriel engendré par . Puisque , la sous-variété affine est de codimension 1 dans et il existe une forme linéaire sur telle que soit la partie de d'équation . Voilà pour la forme linéaire à prolonger. Enfin, pour dans , tandis que . La condition est donc vérifiée sur . En jouant sur l'homogénéité positive de et de , on étend son domaine de validité à un demi-espace strict de ; sur l'autre demi-espace prend des valeurs négatives ou nulles tandis que, comme partout, est à valeurs positives ou nulles. L'inégalité est donc vraie partout dans . Toutes les hypothèses de la version dite « analytique » du théorème sont en place. Appliquons-la donc. Elle nous offre une nouvelle forme linéaire encore notée , cette fois définie sur tout entier. Notons l'hyperplan affine d'équation : par construction, c'est bien un hyperplan contenant . Soit maintenant un point de : pour ce point, et . Donc , et n'est pas dans . On a bien vérifié que et ne se rencontrent pas. Enfin les hyperplans d'un espace vectoriel topologique sont nécessairement fermés ou denses. Or n'est pas dense puisqu'il ne rencontre pas le voisinage de 0. C'est donc qu'il est fermé.
prop-fr:titre
Démonstration de la forme géométrique à partir de la forme analytique
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wikipedia-fr:Théorème_de_Hahn-Banach
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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions. En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle. Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.