Grupa alternująca – w teorii grup grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.

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  • Grupa alternująca – w teorii grup grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.
  • Az n-nel indexelt alternáló csoport egy n-elemű halmaz páros permutációit tartalmazza. A művelet a permutációk szorzása, vagyis egymás utáni elvégzése. Többnyire egyszerűen csak az An alternáló csoportról beszélnek.Az n indexű alternáló csoport a megfelelő Sn szimmetrikus csoport normálosztója. Ha n legalább 5, akkor a megfelelő alternáló csoport egyszerű, vagyis nincs nem triviális normálosztója. Így a megfelelő Sn szimmetrikus csoport nem feloldható, ezért a legalább ötödfokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel. Ez az Abel-Ruffini-tétel.
  • 交代群(こうたいぐん、英: alternating group)とは、有限集合の偶置換全体がなす群である。集合 {1,...,n} 上の交代群は n-次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、An もしくは Alt(n) という記号で表す。例として、4つの元からなる集合 {1, 2, 3, 4} の交代群 A4 は以下のようになる。A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}(巡回置換記法を参照)
  • In mathematics, an alternating group is the group of even permutations of a finite set. The alternating group on the set {1,...,n} is called the alternating group of degree n, or the alternating group on n letters and denoted by An or Alt(n).
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  • An. * Le groupe alterné de degré 5 est le plus petit groupe simple non abélien : Dans un premier temps, utilisons un théorème de Burnside stipulant qu'un groupe simple non abélien possède un ordre dont la décomposition en facteurs premiers contient au minimum 3 nombres premiers. Les seuls entiers inférieurs à 60 vérifiant cette propriété sont 30 et 42. Un groupe de 30 éléments n'est jamais simple ; les théorèmes de Sylow permettent de le démontrer. Ils assurent en effet que le nombre de sous-groupes d'ordre 5 d'un tel groupe est un diviseur de 6 et est congru à 1 modulo 5 et que le nombre de sous-groupe d'ordre 3 est un diviseur de 10 et est congru à 1 modulo 3 . S'il y a 6 sous-groupes d'ordre 5 alors, comme ces sous-groupes ont pour intersection deux à deux l'élément neutre , le groupe entier contient 24 éléments d'ordre 5. De même, s'il existe 10 sous-groupes d'ordre 3 alors le groupe contient 20 éléments d'ordre 3. Mais ces deux éventualités ne peuvent être simultanées . Il existe donc un unique sous-groupe d'ordre 5 ou un unique sous-groupe d'ordre 3. L'unicité assure qu'un tel sous-groupe est normal. * Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le seul sous-groupe normal propre de Sn est An donc Sn n'est pas résoluble : Soit H un sous-groupe normal de Sn. L'intersection de H et du groupe alterné An est un sous-groupe normal du groupe simple An ; c'est donc soit le groupe alterné, soit le groupe trivial. Si H contient le groupe alterné, alors son indice dans Sn est un diviseur de 2 . H est donc soit le groupe alterné, soit le groupe symétrique. Si H ne contient pas le groupe alterné alors il est réduit au neutre. En effet, pour tout élément de H et toute permutation , la permutation est un élément pair de H donc est égale au neutre, autrement dit : tout élément de H est central dans Sn, donc neutre. Le seul sous-groupe normal propre de Sn est donc An. Ce sous-groupe est simple et non abélien ; en conséquence, Sn'' n'est pas résoluble.
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  • Par définition de , il suffit de remarquer que tout produit de deux transpositions est un produit de 3-cycles. En effet, pour distincts, on a id, et .
  • * Une classe de conjugaison dans An est constituée d'éléments ayant la même structure. Les permutations ayant cette structure constituent une classe si la structure comporte un cycle de longueur paire ou deux cycles de même longueur , deux classes sinon :
  • Établir la nature des classes de conjugaison de est simplifié par le travail équivalent pour le groupe symétrique : on sait déjà que deux permutations sont conjuguées par un élément de si et seulement si elles ont même structure.
  • Si les longueurs des sont distinctes, alors est simplement le sous-groupe engendré par …. Si de plus toutes ces longueurs sont impaires, alors les appartiennent à . Ainsi, est inclus dans donc , si bien que , c'est-à-dire que le nombre de conjugués de dans est le double de celui de ses conjugués dans . *Les cycles d'ordre 3 engendrent le groupe alterné.
  • *Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le groupe alterné de degré n est simple : La méthode proposée ici est peu technique. Il en existe d'autres. Soient H un sous-groupe normal du groupe alterné An, non réduit à l'élément neutre, un élément de H distinct du neutre et un 3-cycle qui ne commute pas à . Alors la permutation est à la fois un élément de H et un produit non trivial de deux 3-cycles. Elle est donc de l'une des formes suivantes : # ou ; #, auquel cas H contient aussi
  • Soit … une permutation paire décomposée en produit de cycles disjoints. D'après la formule des classes, le nombre de ses conjugués dans est égal à l'indice, dans , de son centralisateur dans ce groupe, et le nombre de ses conjugués dans est égal à l'indice, dans , de son centralisateur dans ce groupe. **Commençons par établir le cas où la classe de conjugaison de dans est la même que dans : ***Si l'un des est d'ordre pair, alors contient une permutation impaire , si bien que est d'indice 2 dans , de même que est d'indice 2 dans . On en déduit que , c'est-à-dire que n'a pas plus de conjugués dans que dans . ***Si deux des sont de même ordre impair, soient et ces deux cycles, alors le produit des k transpositions … est une permutation impaire qui appartient à , et on conclut comme précédemment. **Établissons le cas où la classe de conjugaison de dans est divisée en deux :
prop-fr:titre
  • Démonstrations
  • Détails de la démonstration
  • Calcul de la table
  • Construction de l'icosaèdre et du dodécaèdre
  • Détail de la démonstration
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  • Grupa alternująca – w teorii grup grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.
  • 交代群(こうたいぐん、英: alternating group)とは、有限集合の偶置換全体がなす群である。集合 {1,...,n} 上の交代群は n-次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、An もしくは Alt(n) という記号で表す。例として、4つの元からなる集合 {1, 2, 3, 4} の交代群 A4 は以下のようになる。A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}(巡回置換記法を参照)
  • In mathematics, an alternating group is the group of even permutations of a finite set. The alternating group on the set {1,...,n} is called the alternating group of degree n, or the alternating group on n letters and denoted by An or Alt(n).
  • Az n-nel indexelt alternáló csoport egy n-elemű halmaz páros permutációit tartalmazza. A művelet a permutációk szorzása, vagyis egymás utáni elvégzése. Többnyire egyszerűen csak az An alternáló csoportról beszélnek.Az n indexű alternáló csoport a megfelelő Sn szimmetrikus csoport normálosztója. Ha n legalább 5, akkor a megfelelő alternáló csoport egyszerű, vagyis nincs nem triviális normálosztója.
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  • Groupe alterné
  • Alternating group
  • Alternerende groep
  • Alternierende Gruppe
  • Alternující grupa
  • Alternáló csoport
  • Grupa alternująca
  • Grupo alternante
  • Знакопеременная группа
  • 交代群
  • 교대군
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