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- En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers, . Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que , alors, par la formule d'homologie entière de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à , où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba−1b−1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (c.-à-d. initiale – donc unique) p : E → G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est . L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur, peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes. (fr)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers, . Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que , alors, par la formule d'homologie entière de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à , où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba−1b−1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (c.-à-d. initiale – donc unique) p : E → G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est . L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur, peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes. (fr)
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- En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers, . Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que , alors, par la formule d'homologie entière de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à , où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba−1b−1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme . (fr)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers, . Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que , alors, par la formule d'homologie entière de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à , où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba−1b−1 pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme . (fr)
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