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- Raisonnons par l'absurde : G désigne un groupe non résoluble d'ordre pq minimal.
:*G est un groupe simple de centre {1} et n est non nul.
G n'est bien sûr pas trivial. S'il existait dans G un sous-groupe normal H différent de G et de {1} alors , H et G/H seraient résolubles donc G aussi, ce qui est exclu. Donc G est simple.
Si n était nul, G serait un q-groupe fini, donc nilpotent, donc résoluble, ce qui est exclu.
Enfin, G n'est pas abélien , donc son centre n'est pas égal à G tout entier. Par simplicité de G, il est égal à {1}.
:* Il existe dans G un élément g dont le nombre de conjugués est de la forme qd pour un certain d > 0.
L'un des théorèmes de Sylow montre que G contient un sous-groupe S d'ordre pn. Comme S est un p-groupe non trivial, son centre Z est encore non trivial. Fixons alors dans Z un élément g différent de 1. Le nombre de conjugués de g est égal à l'indice du centralisateur de g, qui divise l'indice qm de son sous-groupe S. Ce nombre est donc de la forme qd. De plus, l'entier d est strictement positif car g est différent de 1 donc non central dans G.
:* Il existe un caractère irréductible χ non trivial, tel que l'entier χ ne soit pas divisible par q et que le complexe χ soit non nul.
Soit 1≤i≤h la famille des caractères irréductibles de G . Comme g n'est pas dans la même classe de conjugaison que le neutre 1, la relation d'orthogonalité sur les colonnes de la du groupe donne :
Or les χi sont des entiers algébriques, comme sommes de racines de l'unité. Si tous les caractères irréductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en g prenaient en 1 une valeur multiple de q, on en déduirait que le nombre
est un entier algébrique , ce qui est absurde. Cette contradiction démontre la proposition.
:* Le nombre complexe qdχ/χ est un entier algébrique.
Soit u l'élément de l'algèbre du groupe G sur les nombres complexes égal à la somme des qd éléments de la classe de conjugaison cg de g. D'après le paragraphe Entier algébrique de l'article Algèbre d'un groupe fini, le complexe suivant est alors un entier algébrique :
:* Le nombre complexe χ/χ est un entier algébrique.
En effet, q étant premier avec χ, le théorème de Bachet-Bézout montre l'existence de deux entiers a et b tels que :
La valeur recherchée est donc combinaison linéaire à coefficients entiers d'entiers algébriques, ce qui démontre la proposition.
:* L'image de g, par la représentation ρ de caractère χ, est une homothétie.
Notons ζ le nombre complexe χ/χ. C'est un entier algébrique non nul, donc sa norme N est un entier relatif non nul. Or ζ est une moyenne arithmétique de racines de l'unité , donc ses conjugués aussi, donc tous sont de module inférieur ou égal à 1. Comme leur produit N est de module supérieur ou égal à 1, tous sont en fait de module 1, en particulier ζ, ce qui signifie que les valeurs propres de ρ sont égales, donc que ρ est une homothétie.
:* Conclusion'
Soit N le noyau de ρ. L'homothétie ρ est centrale dans Im , alors que g n'est pas central dans G. Par conséquent, le sous-groupe normal N du groupe simple G est non trivial, donc égal à G'', si bien que la représentation ρ est triviale, ce qui contredit le choix de χ .
Cette contradiction démontre le théorème. (fr)
- Raisonnons par l'absurde : G désigne un groupe non résoluble d'ordre pq minimal.
:*G est un groupe simple de centre {1} et n est non nul.
G n'est bien sûr pas trivial. S'il existait dans G un sous-groupe normal H différent de G et de {1} alors , H et G/H seraient résolubles donc G aussi, ce qui est exclu. Donc G est simple.
Si n était nul, G serait un q-groupe fini, donc nilpotent, donc résoluble, ce qui est exclu.
Enfin, G n'est pas abélien , donc son centre n'est pas égal à G tout entier. Par simplicité de G, il est égal à {1}.
:* Il existe dans G un élément g dont le nombre de conjugués est de la forme qd pour un certain d > 0.
L'un des théorèmes de Sylow montre que G contient un sous-groupe S d'ordre pn. Comme S est un p-groupe non trivial, son centre Z est encore non trivial. Fixons alors dans Z un élément g différent de 1. Le nombre de conjugués de g est égal à l'indice du centralisateur de g, qui divise l'indice qm de son sous-groupe S. Ce nombre est donc de la forme qd. De plus, l'entier d est strictement positif car g est différent de 1 donc non central dans G.
:* Il existe un caractère irréductible χ non trivial, tel que l'entier χ ne soit pas divisible par q et que le complexe χ soit non nul.
Soit 1≤i≤h la famille des caractères irréductibles de G . Comme g n'est pas dans la même classe de conjugaison que le neutre 1, la relation d'orthogonalité sur les colonnes de la du groupe donne :
Or les χi sont des entiers algébriques, comme sommes de racines de l'unité. Si tous les caractères irréductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en g prenaient en 1 une valeur multiple de q, on en déduirait que le nombre
est un entier algébrique , ce qui est absurde. Cette contradiction démontre la proposition.
:* Le nombre complexe qdχ/χ est un entier algébrique.
Soit u l'élément de l'algèbre du groupe G sur les nombres complexes égal à la somme des qd éléments de la classe de conjugaison cg de g. D'après le paragraphe Entier algébrique de l'article Algèbre d'un groupe fini, le complexe suivant est alors un entier algébrique :
:* Le nombre complexe χ/χ est un entier algébrique.
En effet, q étant premier avec χ, le théorème de Bachet-Bézout montre l'existence de deux entiers a et b tels que :
La valeur recherchée est donc combinaison linéaire à coefficients entiers d'entiers algébriques, ce qui démontre la proposition.
:* L'image de g, par la représentation ρ de caractère χ, est une homothétie.
Notons ζ le nombre complexe χ/χ. C'est un entier algébrique non nul, donc sa norme N est un entier relatif non nul. Or ζ est une moyenne arithmétique de racines de l'unité , donc ses conjugués aussi, donc tous sont de module inférieur ou égal à 1. Comme leur produit N est de module supérieur ou égal à 1, tous sont en fait de module 1, en particulier ζ, ce qui signifie que les valeurs propres de ρ sont égales, donc que ρ est une homothétie.
:* Conclusion'
Soit N le noyau de ρ. L'homothétie ρ est centrale dans Im , alors que g n'est pas central dans G. Par conséquent, le sous-groupe normal N du groupe simple G est non trivial, donc égal à G'', si bien que la représentation ρ est triviale, ce qui contredit le choix de χ .
Cette contradiction démontre le théorème. (fr)
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