En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers d'éléments de B.

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  • En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers d'éléments de B. Un groupe abélien libre de base B s'identifie donc à l'ensemble des sommes formelles d'éléments de B.Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc isomorphe au quotient d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre.
  • En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros. Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B. De manera informal, un elemento de un grupo abeliano libre también puede ser visto como un multiconjunto signado de elementos de B.Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los asemejan a los espacios vectoriales y permiten que un grupo abeliano en general se entiende como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones". Cada grupo abeliano libre tiene un rango definido como la cardinalidad de una base. El rango determina el grupo salvo isomorfismos, y los elementos de dicho grupo se pueden escribir como sumas finitas formales de los elementos de la base. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre, lo cual es importante para la descripción de un grupo abeliano en general como conúcleo de homomorfismo entre grupos abelianos libres.
  • Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.
  • Em álgebra abstrata, um grupo abeliano livre ou Z-módulo livre é um grupo abeliano com uma base. Em outras palavras, é um conjunto com uma operação binária associativa, comutativa e invertível, e sua base é um subconjunto de seus elementos tal que todo elemento do grupo pode ser escrito de forma única como uma combinação linear de elementos da base com coeficientes inteiros, dos quais apenas uma quantidade finita é diferente de zero. Os elementos de um grupo abeliano livre com base B também são denominados somas formais sobre B. Informalmente, somas formais também podem ser vistas como multiconjuntos com sinal com elementos em B. Grupos abelianos livres e somas formais têm aplicações em topologia algébrica, em que eles são utilizados para definir grupos de cadeias, e em geometria algébrica, em que são utilizados para definir divisores.
  • In abstract algebra, a free abelian group or free Z-module is an abelian group with a basis.That is, it is a set together with an associative, commutative, and invertible binary operation,and its basis is a subset of its elementssuch that every element of the group can be written in one and only one way as a linear combination of basis elements with integer coefficients, finitely many of which are nonzero. Familiar examples include the integers (with the group operation being addition and the basis equal to the singleton set {1}) and the integer lattices. The elements of a free abelian group with basis B are also known as formal sums over B. Informally, formal sums may also be seen as signed multisets with elements in B. Free abelian groups and formal sums have applications in algebraic topology, where they are used to define chain groups, and in algebraic geometry, where they are used to define divisors.Every set B has a unique free abelian group with B as its basis. This group may be constructed as a direct sum of copies of the additive group of the integers, with one copy per member of B. Its elements may be interpreted as the functions from B to the integers that have finitely many nonzero values, and its group operation is pointwise addition of these functions. Alternatively, the free abelian group with basis B may be described by a presentation with the elements of B as its generators and with the commutators of pairs of members as its relators.Free abelian groups have properties which make them similar to vector spaces and allow a general abelian group to be understood as a quotient of a free abelian group by "relations". Every free abelian group has a rank defined as the cardinality of a basis. The rank determines the group up to isomorphism, and the elements of such a group can be written as finite formal sums of the basis elements. Every subgroup of a free abelian group is itself free abelian, which allows the description of a general abelian group as a cokernel of an injective homomorphism between free abelian groups.
  • In de abstracte algebra en meer specifiek in de groepentheorie, is een vrije abelse groep een abelse groep, die een "basis" heeft in de zin dat elk element van de groep in een en slechts een manier als een eindige lineaire combinatie van elementen van de basis, met geheeltallige coëfficiënten geschreven kan worden. Vandaar dat vrij abelse groepen over een basis B ook wel bekendstaan als formele sommen over B. Informeel kunnen vrije abelse groepen of formele sommen ook wel worden gezien als getekende multisets met elementen in B. Vrije abelse groepen hebben zeer mooie eigenschappen, die hen vergelijkbaar maken aan vectorruimten en die een algemene abelse groep toestaan om begrepen te worden als een quotiënt van een vrije abelse groep met "relaties". Elke vrije abelse groep heeft een rang die gedefinieerd is als de kardinaliteit van een basis. De rang bepaalt de groep "up to" isomorfisme, en de elementen van een dergelijke groep kunnen worden geschreven als eindige formele sommen van de basiselementen. Elke deelgroep van een vrije abelse groep is zelf weer een vrij abelse groep, wat belangrijk is voor de beschrijving van een algemene abelse groep als een cokern van een homomorfisme tussen vrije abelse groepen.
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  • En mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers d'éléments de B.
  • Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.
  • In de abstracte algebra en meer specifiek in de groepentheorie, is een vrije abelse groep een abelse groep, die een "basis" heeft in de zin dat elk element van de groep in een en slechts een manier als een eindige lineaire combinatie van elementen van de basis, met geheeltallige coëfficiënten geschreven kan worden. Vandaar dat vrij abelse groepen over een basis B ook wel bekendstaan als formele sommen over B.
  • Em álgebra abstrata, um grupo abeliano livre ou Z-módulo livre é um grupo abeliano com uma base. Em outras palavras, é um conjunto com uma operação binária associativa, comutativa e invertível, e sua base é um subconjunto de seus elementos tal que todo elemento do grupo pode ser escrito de forma única como uma combinação linear de elementos da base com coeficientes inteiros, dos quais apenas uma quantidade finita é diferente de zero.
  • En álgebra abstracta, un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base en el sentido de que cada elemento del grupo se puede escribir de manera unívoca como combinación lineal de los elementos de la base, con coeficientes enteros. Por lo tanto, un grupo abeliano libre sobre una base B también se conoce como un conjunto de sumas formales sobre B.
  • In abstract algebra, a free abelian group or free Z-module is an abelian group with a basis.That is, it is a set together with an associative, commutative, and invertible binary operation,and its basis is a subset of its elementssuch that every element of the group can be written in one and only one way as a linear combination of basis elements with integer coefficients, finitely many of which are nonzero.
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  • Groupe abélien libre
  • Free abelian group
  • Freie abelsche Gruppe
  • Grupa abelowa wolna
  • Grupo abeliano libre
  • Grupo abeliano livre
  • Vrije abelse groep
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