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- L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. (fr)
- L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. (fr)
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- La démonstration qui suit est annoncée comme « partielle » parce qu'elle suppose que et sont de classe C . Pour une démonstration supposant seulement que et sont de classe C, voir l'application du lemme de Du Bois-Reymond au calcul des variations.
L'expression « stationnaire », dans l'énoncé, signifie : vérifiant la condition d'Euler, qui est une condition nécessaire pour que la fonction rende extrémale la fonctionnelle .
Cette condition d'Euler s'écrit : , pour toute fonction nulle en et . Or
:
et le second terme de l'intégrale s'exprime, grâce à une intégration par parties , sous la forme
:.
Le crochet étant nul puisque , la condition d'Euler s'écrit donc :
:.
En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations, on en déduit :
:. (fr)
- La démonstration qui suit est annoncée comme « partielle » parce qu'elle suppose que et sont de classe C . Pour une démonstration supposant seulement que et sont de classe C, voir l'application du lemme de Du Bois-Reymond au calcul des variations.
L'expression « stationnaire », dans l'énoncé, signifie : vérifiant la condition d'Euler, qui est une condition nécessaire pour que la fonction rende extrémale la fonctionnelle .
Cette condition d'Euler s'écrit : , pour toute fonction nulle en et . Or
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et le second terme de l'intégrale s'exprime, grâce à une intégration par parties , sous la forme
:.
Le crochet étant nul puisque , la condition d'Euler s'écrit donc :
:.
En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations, on en déduit :
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- Euler-LagrangeDifferentialEquation (fr)
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- Démonstration partielle (fr)
- Euler-Lagrange Differential Equation (fr)
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- L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. (fr)
- L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. (fr)
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- Ecuaciones de Euler-Lagrange (es)
- Equação de Euler-Lagrange (pt)
- Euler-Lagranges ekvationer (sv)
- Équation d'Euler-Lagrange (fr)
- Рівняння Ейлера — Лагранжа (uk)
- 歐拉-拉格朗日方程 (zh)
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