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- En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n, et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres mn. On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :
* de Hamburger si l'intervalle I est tout entier ;
* de Stieltjes s'il est égal à ;
* de Hausdorff si I est un segment [a,b]. (fr)
- En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n, et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres mn. On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :
* de Hamburger si l'intervalle I est tout entier ;
* de Stieltjes s'il est égal à ;
* de Hausdorff si I est un segment [a,b]. (fr)
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- Translations of Mathematical Monographs (fr)
- Translations of Mathematical Monographs (fr)
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- *Considérons la forme linéaire définie sur les polynômes par :
:
*Si les sont les moments d'une mesure de Borel sur alors
: pour tout polynôme positif sur .
Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues .
*D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour équivaut à l'existence d'une mesure telle que pour tout polynôme ,
:
*Ainsi, la condition est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur de moments . En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur , la condition peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.
Pour plus de détails, voir , et . (fr)
- *Considérons la forme linéaire définie sur les polynômes par :
:
*Si les sont les moments d'une mesure de Borel sur alors
: pour tout polynôme positif sur .
Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues .
*D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour équivaut à l'existence d'une mesure telle que pour tout polynôme ,
:
*Ainsi, la condition est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur de moments . En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur , la condition peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.
Pour plus de détails, voir , et . (fr)
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- Condition de Carleman (fr)
- Condition de Krein (fr)
- Condition de Carleman (fr)
- Condition de Krein (fr)
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- New York (fr)
- Providence (fr)
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- MomentProblem (fr)
- MomentProblem (fr)
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| prop-fr:prénom
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- James Alexander (fr)
- James Alexander (fr)
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| prop-fr:titre
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- The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis (fr)
- The Problem of Moments (fr)
- Moment Problem (fr)
- The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development (fr)
- Ébauche de démonstration (fr)
- The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis (fr)
- The Problem of Moments (fr)
- Moment Problem (fr)
- The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development (fr)
- Ébauche de démonstration (fr)
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| prop-fr:trad
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- Carleman's condition (fr)
- Krein's condition (fr)
- Carleman's condition (fr)
- Krein's condition (fr)
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| prop-fr:traducteur
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- N. Kemmer (fr)
- D. Louvish (fr)
- N. Kemmer (fr)
- D. Louvish (fr)
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- En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n, et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres mn. (fr)
- En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n, et, le cas échéant, si une telle mesure est unique.Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres mn. (fr)
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- Momentenproblem (de)
- Problème des moments (fr)
- 矩問題 (zh)
- Momentenproblem (de)
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