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- L'histoire de la racine carrée commence autour du XXe siècle av. J.-C. Sa première représentation connue date du XVIIe siècle av. J.-C. La valeur de la racine carrée de deux a été calculée de manière approchée en Inde au VIIIe siècle av. J.-C. et en Chine durant le IIe siècle av. J.-C. Entre ces deux périodes, les Grecs démontrent son irrationalité. Des mathématiciens ont rencontré ces problèmes depuis les débuts de l'écriture, en Mésopotamie (-1700), ils ont été fertiles jusqu'au XIXe siècle, ils conservent un intérêt pédagogique. La racine carrée est une question classique d'histoire des sciences. Elle permet de tracer le fonctionnement réel des découvertes, de leur oubli ou de leur transmission. Certaines représentations limitent la compréhension (les obstacles épistémologiques), d'autres favorisent la spéculation (techniques, organisation sociale, religion, philosophie…) ; mais au-delà de son avancement, chaque société a sa manière de faire des mathématiques. Pour s'en rendre compte, rien ne vaut une citation d'époque, même traduite, pour découvrir des technicités différentes, et souvent très élaborées. La racine carrée est un objet mathématique très défini, qui permet un petit voyage dans l'espace et le temps par les traces qu'il a laissées. (fr)
- L'histoire de la racine carrée commence autour du XXe siècle av. J.-C. Sa première représentation connue date du XVIIe siècle av. J.-C. La valeur de la racine carrée de deux a été calculée de manière approchée en Inde au VIIIe siècle av. J.-C. et en Chine durant le IIe siècle av. J.-C. Entre ces deux périodes, les Grecs démontrent son irrationalité. Des mathématiciens ont rencontré ces problèmes depuis les débuts de l'écriture, en Mésopotamie (-1700), ils ont été fertiles jusqu'au XIXe siècle, ils conservent un intérêt pédagogique. La racine carrée est une question classique d'histoire des sciences. Elle permet de tracer le fonctionnement réel des découvertes, de leur oubli ou de leur transmission. Certaines représentations limitent la compréhension (les obstacles épistémologiques), d'autres favorisent la spéculation (techniques, organisation sociale, religion, philosophie…) ; mais au-delà de son avancement, chaque société a sa manière de faire des mathématiques. Pour s'en rendre compte, rien ne vaut une citation d'époque, même traduite, pour découvrir des technicités différentes, et souvent très élaborées. La racine carrée est un objet mathématique très défini, qui permet un petit voyage dans l'espace et le temps par les traces qu'il a laissées. (fr)
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- Si était rationnel, il existerait donc par définition une fraction ou a et b sont entiers et irréductibles, . Quelle que soit la valeur de b², si a égal 2b², c'est qu'il est multiple de 2, donc pair. Or, si le carré de a est pair, alors a est pair. Ici est la disjonction pointée par Aristote, celle qui exclut une troisième option, le tiers exclus. Un nombre est ou pair ou impair. Si a est impair, , son carré est impair. Si a est pair, , son carré est pair. En conséquence, il existe un entier n, tel que , autrement dit, si a est pair, le carré de b est pair aussi. Comme pour a, si b² est pair, b doit être pair aussi. Là est le nœud du raisonnement, si a et b sont pairs, alors la fraction a/b peut être réduite par 2, ce qui est contradictoire à la définition initiale, donc la définition initiale est fausse, absurde, il n'existe pas de fraction rationnelle irréductible égale à . Le même raisonnement se montre pour et les autres racines de nombres premiers http://serge.mehl.free.fr/chrono/Aristote.html#rac2. (fr)
- Définition 1 : Une quantité est dite commensurable si elle peut être mesurée avec une même unité rationnelle, et incommensurable, si elle ne peut pas avoir une mesure commune irrationnelle.
Définition 2 : Un segment est commensurable au carré si son carré est mesurable, rapportable à l'unité […]
Définition 3 : De ces hypothèses, il est prouvé qu'il existe des segments infinis en nombre qui sont commensurables ou incommensurables […] (fr)
- Théétète : Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos des racines. Il nous a montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont pas commensurables avec celle d’un pied. Les prenant ainsi, l’une après l’autre, il était allé jusqu’à celle de dix-sept. Je ne sais pourquoi, il s'est arrêté là. Il nous vint alors à l’esprit, en considérant que les racines sont en nombre infini, d’essayer de les rassembler sous un terme unique.
Socrate : Et ce terme, l’avez-vous trouvé ? […]
Théétète : Nous avons divisé tous les nombres entiers en deux classes : les uns, les nombres qui peuvent être formés par la multiplication de facteurs égaux, nous les avons […] appelés carrés. (fr)
- […]Toutes les segments dont la multiplication est rapportable à un carré, nous les avons nommées longueurs [2{{Exp|2}}=4, 3=9 …], et toutes celles dont la multiplication est rapportable à un rectangle, nous les avons appelées racines [{{Exp|2}}=2, =3 …], parce qu’elles ne sont pas commensurables avec les autres pour la longueur, mais seulement pour les aires qu’elles ont le pouvoir de former. Et nous avons opéré de même pour les solides.[le texte original a été ici interprété en termes mathématiques plus contemporains] (fr)
- Pourtant, Socrate, la question que tu me poses au sujet de la science, je ne me crois pas capable de la résoudre, comme celle qui a trait à la longueur et à la racine. (fr)
- […] Pour les nombres placés entre les carrés, comme le trois, le cinq ; ils ne peuvent pas résulter d'une multiplication de facteurs égaux, mais seulement d'un plus petit avec un plus grand. […] Nous les avons nommés rectangles. (fr)
- Si était rationnel, il existerait donc par définition une fraction ou a et b sont entiers et irréductibles, . Quelle que soit la valeur de b², si a égal 2b², c'est qu'il est multiple de 2, donc pair. Or, si le carré de a est pair, alors a est pair. Ici est la disjonction pointée par Aristote, celle qui exclut une troisième option, le tiers exclus. Un nombre est ou pair ou impair. Si a est impair, , son carré est impair. Si a est pair, , son carré est pair. En conséquence, il existe un entier n, tel que , autrement dit, si a est pair, le carré de b est pair aussi. Comme pour a, si b² est pair, b doit être pair aussi. Là est le nœud du raisonnement, si a et b sont pairs, alors la fraction a/b peut être réduite par 2, ce qui est contradictoire à la définition initiale, donc la définition initiale est fausse, absurde, il n'existe pas de fraction rationnelle irréductible égale à . Le même raisonnement se montre pour et les autres racines de nombres premiers http://serge.mehl.free.fr/chrono/Aristote.html#rac2. (fr)
- Définition 1 : Une quantité est dite commensurable si elle peut être mesurée avec une même unité rationnelle, et incommensurable, si elle ne peut pas avoir une mesure commune irrationnelle.
Définition 2 : Un segment est commensurable au carré si son carré est mesurable, rapportable à l'unité […]
Définition 3 : De ces hypothèses, il est prouvé qu'il existe des segments infinis en nombre qui sont commensurables ou incommensurables […] (fr)
- Théétète : Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos des racines. Il nous a montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont pas commensurables avec celle d’un pied. Les prenant ainsi, l’une après l’autre, il était allé jusqu’à celle de dix-sept. Je ne sais pourquoi, il s'est arrêté là. Il nous vint alors à l’esprit, en considérant que les racines sont en nombre infini, d’essayer de les rassembler sous un terme unique.
Socrate : Et ce terme, l’avez-vous trouvé ? […]
Théétète : Nous avons divisé tous les nombres entiers en deux classes : les uns, les nombres qui peuvent être formés par la multiplication de facteurs égaux, nous les avons […] appelés carrés. (fr)
- […]Toutes les segments dont la multiplication est rapportable à un carré, nous les avons nommées longueurs [2{{Exp|2}}=4, 3=9 …], et toutes celles dont la multiplication est rapportable à un rectangle, nous les avons appelées racines [{{Exp|2}}=2, =3 …], parce qu’elles ne sont pas commensurables avec les autres pour la longueur, mais seulement pour les aires qu’elles ont le pouvoir de former. Et nous avons opéré de même pour les solides.[le texte original a été ici interprété en termes mathématiques plus contemporains] (fr)
- Pourtant, Socrate, la question que tu me poses au sujet de la science, je ne me crois pas capable de la résoudre, comme celle qui a trait à la longueur et à la racine. (fr)
- […] Pour les nombres placés entre les carrés, comme le trois, le cinq ; ils ne peuvent pas résulter d'une multiplication de facteurs égaux, mais seulement d'un plus petit avec un plus grand. […] Nous les avons nommés rectangles. (fr)
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