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- En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques est le groupe des éléments inversibles d'un tel anneau. Un entier quadratique est un nombre complexe racine d'un polynôme unitaire de degré 2 à coefficients entiers relatifs. Un anneau d'entiers quadratiques est donc un sous-anneau du corps commutatif ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire un sous-ensemble de ℂ, contenant 1, et stable par addition, multiplication et opposé) ; ainsi, c'est un anneau commutatif et ses unités forment un groupe (abélien et contenant 1 et –1). L'anneau est toujours inclus dans un corps quadratique et la structure du groupe dépend de la nature de ce corps. S'il contient des éléments non réels, c'est-à-dire de partie imaginaire non nulle, alors le groupe est cyclique. Dans le cas contraire, le corps est dit totalement réel et le groupe est isomorphe, soit à ℤ/2ℤ, soit à ℤ/2ℤ × ℤ. Un tel groupe représente ce que Dirichlet appelle une obstruction, s'il est trop vaste, ce qui est le cas pour les corps quadratiques totalement réels. Le théorème des unités de Dirichlet précise la structure du groupe des unités des anneaux d'entiers algébriques, qui généralise la notion d'entiers quadratiques. Les applications de la connaissance du groupe des unités sont diverses en arithmétique. L'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne – c'est-à-dire à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières – dont la résolution d'un cas particulier revient exactement à la détermination du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques. La démonstration du dernier théorème de Fermat pour des valeurs pas trop particulières du paramètre n demande l'explicitation des racines n-ièmes de l'unité d'un anneau d'entiers algébriques. Dans le cas où n est égal à 3 ou à 5, certaines démonstrations utilisent des anneaux d'entiers quadratiques. Enfin, l'étude du groupe des unités de l'anneau des entiers de ℚ(√5) permet une démonstration de la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci. (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques est le groupe des éléments inversibles d'un tel anneau. Un entier quadratique est un nombre complexe racine d'un polynôme unitaire de degré 2 à coefficients entiers relatifs. Un anneau d'entiers quadratiques est donc un sous-anneau du corps commutatif ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire un sous-ensemble de ℂ, contenant 1, et stable par addition, multiplication et opposé) ; ainsi, c'est un anneau commutatif et ses unités forment un groupe (abélien et contenant 1 et –1). L'anneau est toujours inclus dans un corps quadratique et la structure du groupe dépend de la nature de ce corps. S'il contient des éléments non réels, c'est-à-dire de partie imaginaire non nulle, alors le groupe est cyclique. Dans le cas contraire, le corps est dit totalement réel et le groupe est isomorphe, soit à ℤ/2ℤ, soit à ℤ/2ℤ × ℤ. Un tel groupe représente ce que Dirichlet appelle une obstruction, s'il est trop vaste, ce qui est le cas pour les corps quadratiques totalement réels. Le théorème des unités de Dirichlet précise la structure du groupe des unités des anneaux d'entiers algébriques, qui généralise la notion d'entiers quadratiques. Les applications de la connaissance du groupe des unités sont diverses en arithmétique. L'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne – c'est-à-dire à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières – dont la résolution d'un cas particulier revient exactement à la détermination du groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques. La démonstration du dernier théorème de Fermat pour des valeurs pas trop particulières du paramètre n demande l'explicitation des racines n-ièmes de l'unité d'un anneau d'entiers algébriques. Dans le cas où n est égal à 3 ou à 5, certaines démonstrations utilisent des anneaux d'entiers quadratiques. Enfin, l'étude du groupe des unités de l'anneau des entiers de ℚ(√5) permet une démonstration de la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci. (fr)
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- En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques est le groupe des éléments inversibles d'un tel anneau. Un entier quadratique est un nombre complexe racine d'un polynôme unitaire de degré 2 à coefficients entiers relatifs. Un anneau d'entiers quadratiques est donc un sous-anneau du corps commutatif ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire un sous-ensemble de ℂ, contenant 1, et stable par addition, multiplication et opposé) ; ainsi, c'est un anneau commutatif et ses unités forment un groupe (abélien et contenant 1 et –1). (fr)
- En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, le groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques est le groupe des éléments inversibles d'un tel anneau. Un entier quadratique est un nombre complexe racine d'un polynôme unitaire de degré 2 à coefficients entiers relatifs. Un anneau d'entiers quadratiques est donc un sous-anneau du corps commutatif ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire un sous-ensemble de ℂ, contenant 1, et stable par addition, multiplication et opposé) ; ainsi, c'est un anneau commutatif et ses unités forment un groupe (abélien et contenant 1 et –1). (fr)
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- Groupe des unités d'un anneau d'entiers quadratiques (fr)
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