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En mathématiques, un vecteur de Killing, ou champ de Killing, est un champ vectoriel sur une variété (pseudo-)riemannienne qui conserve la métrique de cette variété et met en évidence les symétries continues de celle-ci. Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse. , D étant la dérivée covariante associée à la métrique. À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.
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À partir de l'équation de Killing, on effectue une dérivation supplémentaire. On obtient donc : :. Les dérivées covariantes ne commutent pas en général, mais peuvent être commutées si on leur adjoint un terme supplémentaire faisant appel au tenseur de Riemann : : . On obtient ainsi : . On peut réécrire cette équation en effectuant des permutations sur les indices a, b et c : : . : . En effectuant la somme de ces trois égalités, on obtient : . En vertu de la première identité de Bianchi, les termes du membre de droite s'annulent. On a donc : . En soustrayant ceci à la première égalité faisant intervenir le tenseur de Riemann, il vient alors : . En effet, la divergence de la quantité donne :. Le premier terme est nul, car il est la contraction d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique . Le second terme est également nul car le tenseur énergie impulsion est par définition de divergence nulle . On a donc :. L'opérateur peut se réécrire, d'après la définition d'une géodésique, :. On a donc :. En utilisant la règle de Leibniz des dérivées, on obtient alors :. Le second terme de l'égalité est nul. En effet, la définition même d'une géodésique est que son vecteur tangent est conservé le long de la géodésique, soit :. Le premier terme de l'égalité est également nul. En effet, l'équation de Killing indique que le tenseur est antisymétrique. Sa contraction avec un tenseur symétrique est donc nulle. Ainsi, on a bien :. Le crochet de Lie de par s'écrit, en termes de composantes, :. Pour que ce vecteur soit un vecteur de Killing, il faut et il suffit qu'il satisfasse à l'équation de Killing. On calcule donc : :. Les termes comprenant des produits de deux dérivées premières peuvent être manipulés en utilisant l'équation de Killing pour et , de sorte que l'indice c ne porte pas sur la dérivée covariante, mais sur le vecteur. Ainsi, on a :, car les termes s'annulent deux à deux. Pour les termes comprenant des dérivées seconde, on utilise également les équations de Killing pour chasser l'indice c des dérivées covariantes. On a : On reconnaît le commutateur des dérivées covariantes, que l'on peut réécrire à l'aide du tenseur de Riemann : :. En utilisant enfin les relations d'antisymétrie sur les deux paires d'indices du tenseur de Riemann et en intervertissant les indices muets c et d sur un des deux membres du résultat, on obtient :. Ainsi donc, le crochet de Lie de deux vecteurs de Killing est également un vecteur de Killing.
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Stephen Hawking Wilhelm Killing Thomas Hawkins John Wheeler Aurélien Barrau Marc Lachièze-Rey Charles W. Misner Sean Carroll Roger Penrose Jean-Philippe Uzan George F. R. Ellis Kip Thorne
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étoiles, univers et relativité la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique
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Dans le cas relativiste, la quantité conservée est la position multipliée par le facteur de Lorentz, qui lui-même est une quantité conservée du fait que est un vecteur de Killing . Le terme vecteur est un abus de langage classique en physique, qui assimile par facilité élément et ensemble, vecteur et champ de vecteurs. La quantité conservée est le facteur de Lorentz γ, qui a une constante près est égal dans la limite non relativiste à la somme de l'énergie de masse et de l'énergie cinétique.
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Dictionnaire de physique Démonstration Espace et observateurs en cosmologie Cosmologie primordiale Relativité générale À la découverte des lois de l'Univers Astrophysique
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Encyclopaedia of mathematics L'espace physique entre mathématiques et philosophie
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Espace-temps et géométrie : une introduction à la relativité générale La structure à grande échelle de l'espace-temps Gravitation Émergence de la théorie des groupes de Lie : un essai en histoire des mathématiques, -
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cours et exercices corrigés
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Laroche de l' par
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En mathématiques, un vecteur de Killing, ou champ de Killing, est un champ vectoriel sur une variété (pseudo-)riemannienne qui conserve la métrique de cette variété et met en évidence les symétries continues de celle-ci. Intuitivement un vecteur de Killing peut être vu comme un « champ de déplacement » , c'est-à-dire associant à un point M de la variété le point M' défini par le déplacement de M le long de la courbe passant par M dont est le vecteur tangent. Sa propriété fondamentale est que ce champ représente une isométrie, c'est-à-dire qu'il conserve les distances. Ainsi, la distance entre deux points M et N est égale à la distance entre leurs images M' et N' par l'action de . Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse. La formulation mathématique de cette propriété est appelée équation de Killing. Elle stipule que la dérivée de Lie de la métrique riemannienne par rapport au vecteur de Killing est nulle, soit, dans un système de coordonnées quelconque, , D étant la dérivée covariante associée à la métrique. À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.