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- En géométrie riemannienne, un vecteur de Killing conforme ou un champ de vecteurs de Killing conforme ou un champ conforme est un champ de vecteurs correspondant à une variation infinitésimale d'une isotopie conforme pour une métrique pseudoriemannienne. En l'absence d'orbites périodiques, après une transformation conforme correctement choisie sur la métrique, le champ de vecteurs devient un champ de vecteurs de Killing ; cela peut être réalisé au moins localement. Sans être forcément de Killing un champ conforme possède des propriétés proches. Les vecteurs de Killing interviennent notamment en relativité générale. En géométrie symplectique, les champs de dilatation en sont des équivalents. (fr)
- En géométrie riemannienne, un vecteur de Killing conforme ou un champ de vecteurs de Killing conforme ou un champ conforme est un champ de vecteurs correspondant à une variation infinitésimale d'une isotopie conforme pour une métrique pseudoriemannienne. En l'absence d'orbites périodiques, après une transformation conforme correctement choisie sur la métrique, le champ de vecteurs devient un champ de vecteurs de Killing ; cela peut être réalisé au moins localement. Sans être forcément de Killing un champ conforme possède des propriétés proches. Les vecteurs de Killing interviennent notamment en relativité générale. En géométrie symplectique, les champs de dilatation en sont des équivalents. (fr)
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- À partir de la nouvelle métrique , il est possible de calculer les nouveaux symboles de Christoffel, qui s'écrivent :
:.
La nouvelle équation de Killing de réécrit donc
:.
En prenant la trace de cette équation, et en se souvenant que la divergence d'un vecteur de Killing est nulle, il vient
:.
Le membre de droite de la nouvelle équation de Killing peut ainsi être modifié en
:. (fr)
- :En effet, on est en droit de considérer deux champs de vecteurs V et W valant respectivement v et w en p. Comme la connexion de Levi-Civita est par définition métrique, la dérivée de g dans la direction de X peut s'écrire :
:.
:Le calcul de cette dérivée peut être obtenu en utilisant la dérivation de Lie. Comme la connexion est sans torsion, on trouve :
:
:En combinant les deux identités ci-dessus, on obtient :
:
:Cette identité peut être évaluée au point p. Comme X est un vecteur de Killing conforme, est propostionnelle à gp. Les vecteurs v et w étant orthogonaux pour g, on a : , et donc :
: (fr)
- À partir de la nouvelle métrique , il est possible de calculer les nouveaux symboles de Christoffel, qui s'écrivent :
:.
La nouvelle équation de Killing de réécrit donc
:.
En prenant la trace de cette équation, et en se souvenant que la divergence d'un vecteur de Killing est nulle, il vient
:.
Le membre de droite de la nouvelle équation de Killing peut ainsi être modifié en
:. (fr)
- :En effet, on est en droit de considérer deux champs de vecteurs V et W valant respectivement v et w en p. Comme la connexion de Levi-Civita est par définition métrique, la dérivée de g dans la direction de X peut s'écrire :
:.
:Le calcul de cette dérivée peut être obtenu en utilisant la dérivation de Lie. Comme la connexion est sans torsion, on trouve :
:
:En combinant les deux identités ci-dessus, on obtient :
:
:Cette identité peut être évaluée au point p. Comme X est un vecteur de Killing conforme, est propostionnelle à gp. Les vecteurs v et w étant orthogonaux pour g, on a : , et donc :
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- Démonstration (fr)
- Explications (fr)
- Démonstration (fr)
- Explications (fr)
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- En géométrie riemannienne, un vecteur de Killing conforme ou un champ de vecteurs de Killing conforme ou un champ conforme est un champ de vecteurs correspondant à une variation infinitésimale d'une isotopie conforme pour une métrique pseudoriemannienne. En l'absence d'orbites périodiques, après une transformation conforme correctement choisie sur la métrique, le champ de vecteurs devient un champ de vecteurs de Killing ; cela peut être réalisé au moins localement. Sans être forcément de Killing un champ conforme possède des propriétés proches. (fr)
- En géométrie riemannienne, un vecteur de Killing conforme ou un champ de vecteurs de Killing conforme ou un champ conforme est un champ de vecteurs correspondant à une variation infinitésimale d'une isotopie conforme pour une métrique pseudoriemannienne. En l'absence d'orbites périodiques, après une transformation conforme correctement choisie sur la métrique, le champ de vecteurs devient un champ de vecteurs de Killing ; cela peut être réalisé au moins localement. Sans être forcément de Killing un champ conforme possède des propriétés proches. (fr)
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- Vecteur de Killing conforme (fr)
- Vecteur de Killing conforme (fr)
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