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dbpedia-fr:Transformation_en_Z
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Transformada Z Z轉換 Biến đổi Z Transformation en Z Z-transformatie Z-transform Transformada Z
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La transformation en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle transforme un signal réel du domaine temporel en un signal représenté par une série complexe et appelé transformée en Z. Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.
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1966 1965 1993 2010
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Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z. *Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme : *Le dénominateur, de puissance 10, est : *Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q, de la forme Pour passer de à , si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple : jusqu'à la puissance 10 : : *Le reste R de cette division incomplète est : : On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H = NUM/DENOM= Q+ R/DENOM. On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient. Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit. Image:ZtransfoNumDenomQuotient.PNG Image:ZtransfoPolynReste.PNG Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q de H. De même on peut afficher la réponse indicielle de Q à un échelon de Heaviside. Image:Ztransfo2reponses.PNG Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H par le quotient Q, de la forme : jusqu'à la puissance 5 par exemple : nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises . Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite. D'autres méthodes d'inversion pour passer de à sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x à x qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction est une fraction rationnelle. En effet lorsque : , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients , n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation . La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie et une entrée : . Un exemple concret pour illustrer cette démarche: La série génératrice de la suite de Fibonacci est donc sa transformée en Z est Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, et qui sont le nombre d'or : et l'opposé de son inverse :. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de et : , et . La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu : :. Une fraction du type peut se travailler ainsi : : La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , , la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est , en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée : :
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0 1 978
prop-fr:langue
en
prop-fr:lienAuteur
Laurent Schwartz
prop-fr:lieu
New York/Berlin/Paris etc.
prop-fr:nom
Pallu de la Barrière Schwartz Bourlès Lang
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458 544
prop-fr:prénom
Laurent Robert Serge Henri
prop-fr:titre
Procédé par identification approximative des coefficients de X. Autres méthodes d'inversion Cours d'automatique théorique Méthodes mathématiques pour les sciences physiques Complex Analysis Quotient de polynômes en z, approximation numérique. Linear Systems Utilisation des fractions rationnelles, exemple de la fonction de transfert de la suite de Fibonacci.
prop-fr:éditeur
dbpedia-fr:John_Wiley_&_Sons Dunod Hermann Springer
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wikipedia-fr:Transformation_en_Z
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La transformation en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle transforme un signal réel du domaine temporel en un signal représenté par une série complexe et appelé transformée en Z. Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.