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- En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable. De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre demeure au voisinage de ce point, alors est dit stable au sens de Liapounov (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type ) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction de l'équation différentielle et à . Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une fonction de Liapounov du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, infra, le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet et L’œuvre de Liapounov). D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple:
* la stabilité asymptotique (si tout mouvement issu d'un voisinage suffisamment petit U de reste au voisinage de ce point et converge vers ). Cette stabilité asymptotique est dite globale si U est l'espace tout entier;
* la stabilité structurelle (si lorsque l'équation différentielle est perturbée par un terme suffisamment petit, ses orbites ou trajectoires restent peu modifiées). Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité. (fr)
- En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable. De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre demeure au voisinage de ce point, alors est dit stable au sens de Liapounov (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type ) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction de l'équation différentielle et à . Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une fonction de Liapounov du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, infra, le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet et L’œuvre de Liapounov). D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple:
* la stabilité asymptotique (si tout mouvement issu d'un voisinage suffisamment petit U de reste au voisinage de ce point et converge vers ). Cette stabilité asymptotique est dite globale si U est l'espace tout entier;
* la stabilité structurelle (si lorsque l'équation différentielle est perturbée par un terme suffisamment petit, ses orbites ou trajectoires restent peu modifiées). Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité. (fr)
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- W. M. Wonham (fr)
- Stabilité entrée-état (fr)
- Wolfgang Hahn (fr)
- Vasile M. Popov (fr)
- lemme de Massera (fr)
- Walter Gottschalk (fr)
- Lemme de Kalman-Yakubovich-Popov (fr)
- Maurício Peixoto (fr)
- Principe d'invariance (fr)
- Théorème de Kharitonov (fr)
- Viktor Vladimirovitch Nemytsky (fr)
- Vladimir Andreïevitch Yakoubovitch (fr)
- critère d'Andronov-Pontryagin (fr)
- ensemble limite (fr)
- méthode de Zubov (fr)
- stabilité absolue (fr)
- W. M. Wonham (fr)
- Stabilité entrée-état (fr)
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- LaSalle (fr)
- Li (fr)
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- Hale (fr)
- Lyapunov (fr)
- Michel (fr)
- Boyd (fr)
- Liu (fr)
- Lewis (fr)
- Khalil (fr)
- Bhatia (fr)
- Sontag (fr)
- Slotine (fr)
- Bourlès (fr)
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- Kupka (fr)
- Rouche (fr)
- Wonham (fr)
- Balakrishnan (fr)
- Hou (fr)
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- Leine (fr)
- Habets (fr)
- Mawhin (fr)
- Braiek (fr)
- El Ghaoui (fr)
- Hadj Brahim (fr)
- Szegö (fr)
- Vidyasagar (fr)
- Zakhama (fr)
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- Laurent (fr)
- M. (fr)
- P. (fr)
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- Alexander (fr)
- Henri (fr)
- Wolfgang (fr)
- Jean-Jacques (fr)
- N. (fr)
- Stephen (fr)
- J.P. (fr)
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- R.I. (fr)
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- Ling (fr)
- W. Murray (fr)
- Weiping (fr)
- N. B. (fr)
- Derong (fr)
- A. B. B. (fr)
- Antony N. (fr)
- Giorgio P. (fr)
- Hassan K. (fr)
- Mathukuma (fr)
- Nam Parshad (fr)
- Venkararamanam (fr)
- Andrew (fr)
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- Hassan K. (fr)
- Mathukuma (fr)
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- Venkararamanam (fr)
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| prop-fr:périodique
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- IEEE Transactions on Automatic Control (fr)
- Springer - Lecture Notes in Mathematics (fr)
- IRE Transactions on Circuit Theory (fr)
- Nonlinear Dyn. (fr)
- Séminaire Janet (fr)
- IEEE Transactions on Automatic Control (fr)
- Springer - Lecture Notes in Mathematics (fr)
- IRE Transactions on Circuit Theory (fr)
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- Séminaire Janet (fr)
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| prop-fr:sousTitre
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- Tome II (fr)
- Deterministic Finite Dimensional Systems (fr)
- a geometric approach (fr)
- continuous, discontinuous, and discrete systems (fr)
- Tome II (fr)
- Deterministic Finite Dimensional Systems (fr)
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| prop-fr:texte
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- stabilité entrée-état (fr)
- stabilité entrée-état (fr)
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| prop-fr:titre
|
- Applied Nonlinear Control (fr)
- Linear Systems (fr)
- Linear multivariable control (fr)
- Mathematical Control Theory (fr)
- Input to State Stability: Basic Concepts and Results (fr)
- Stability of Motion (fr)
- The general problem of the stability of motion (fr)
- Equations différentielles ordinaires (fr)
- Nonlinear System Analysis (fr)
- Nonlinear Systems (fr)
- Some Extensions of Liapunov's Second Method (fr)
- Stability Theory by Lyapunov's Direct Method (fr)
- Stability Theory of Dynamical Systems (fr)
- Stability of Dynamical Systems (fr)
- Stabilité structurelle (fr)
- Theory of functional differential equations (fr)
- Remarks on stability of linear time-varying systems (fr)
- Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (fr)
- The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability (fr)
- Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems (fr)
- Applied Nonlinear Control (fr)
- Linear Systems (fr)
- Linear multivariable control (fr)
- Mathematical Control Theory (fr)
- Input to State Stability: Basic Concepts and Results (fr)
- Stability of Motion (fr)
- The general problem of the stability of motion (fr)
- Equations différentielles ordinaires (fr)
- Nonlinear System Analysis (fr)
- Nonlinear Systems (fr)
- Some Extensions of Liapunov's Second Method (fr)
- Stability Theory by Lyapunov's Direct Method (fr)
- Stability Theory of Dynamical Systems (fr)
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- Stabilité structurelle (fr)
- Theory of functional differential equations (fr)
- Remarks on stability of linear time-varying systems (fr)
- Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (fr)
- The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability (fr)
- Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems (fr)
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| prop-fr:trad
|
- W. M. Wonham (fr)
- Input-to-state stability (fr)
- Wolfgang Hahn (fr)
- Vasile M. Popov (fr)
- Massera's lemma (fr)
- Walter Gottschalk (fr)
- Kharitonov's theorem (fr)
- Andronov–Pontryagin criterion (fr)
- Kalman–Yakubovich–Popov lemma (fr)
- LaSalle's invariance principle (fr)
- Limit set (fr)
- Maurício Peixoto (fr)
- Nonlinear control#Absolute stability problem (fr)
- Viktor Vladimirovich Nemytskii (fr)
- Vladimir Andreevich Yakubovich (fr)
- Zubov's method (fr)
- W. M. Wonham (fr)
- Input-to-state stability (fr)
- Wolfgang Hahn (fr)
- Vasile M. Popov (fr)
- Massera's lemma (fr)
- Walter Gottschalk (fr)
- Kharitonov's theorem (fr)
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- Viktor Vladimirovich Nemytskii (fr)
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- En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple: Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. (fr)
- En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple: Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. (fr)
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- Stabilité de Liapounov (fr)
- Ổn định Lyapunov (vi)
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