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- En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS. (fr)
- En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS. (fr)
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| prop-fr:contenu
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- On veut montrer l'équivalence :
: ⇔ A est un nombre parfait pair
Sens direct :
Soit , où est premier.
:
Les diviseurs de sont . Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique. Elle vaut .
est premier. Ses seuls diviseurs sont et lui-même. Leur somme vaut .
En combinant ces résultats :
:
Par conséquent A = est parfait.
;Sens réciproque
Supposons que soit un nombre parfait pair. , où est un entier impair.
Comme est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :
:
Ainsi
De cette égalité, le facteur impair du côté droit doit diviser , le seul facteur impair du côté gauche . Ainsi il existe un entier , tel que . Divisons les deux côtés de l'égalité par le facteur commun :
:
Or
Comme il y a égalité, .
Or admet au moins et lui-même comme diviseurs. doit valoir au minimum +. vaut donc . n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs. Il est nécessairement premier.
Ainsi A = avec premier. Ce qui était recherché. (fr)
- On veut montrer l'équivalence :
: ⇔ A est un nombre parfait pair
Sens direct :
Soit , où est premier.
:
Les diviseurs de sont . Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique. Elle vaut .
est premier. Ses seuls diviseurs sont et lui-même. Leur somme vaut .
En combinant ces résultats :
:
Par conséquent A = est parfait.
;Sens réciproque
Supposons que soit un nombre parfait pair. , où est un entier impair.
Comme est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :
:
Ainsi
De cette égalité, le facteur impair du côté droit doit diviser , le seul facteur impair du côté gauche . Ainsi il existe un entier , tel que . Divisons les deux côtés de l'égalité par le facteur commun :
:
Or
Comme il y a égalité, .
Or admet au moins et lui-même comme diviseurs. doit valoir au minimum +. vaut donc . n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs. Il est nécessairement premier.
Ainsi A = avec premier. Ce qui était recherché. (fr)
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| prop-fr:titre
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- Démonstration du théorème d'Euclide-Euler (fr)
- Démonstration du théorème d'Euclide-Euler (fr)
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- En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS. (fr)
- En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS. (fr)
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- Liczba doskonała (pl)
- Nombre parfait (fr)
- Número perfecto (es)
- Número perfeito (pt)
- Perfect getal (nl)
- Совершенное число (ru)
- عدد مثالي (ar)
- 完全数 (zh)
- Liczba doskonała (pl)
- Nombre parfait (fr)
- Número perfecto (es)
- Número perfeito (pt)
- Perfect getal (nl)
- Совершенное число (ru)
- عدد مثالي (ar)
- 完全数 (zh)
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