En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X2 ou encore X2 – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X2, X3... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée.

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  • En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X2 ou encore X2 – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X2, X3... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée. Cette construction met en lumière les propriétés des éléments de cet ensemble, noté A[X], éléments qui sont appelés polynômes. On retrouve les propriétés qui caractérisent les nombres entiers, par exemple l'addition et la multiplication qui sont associatives et commutatives. Il existe un élément neutre pour l'addition et la multiplication des polynômes, mais si pour l'addition, tout polynôme possède un symétrique, tel n'est pas le cas pour la multiplication. L'élément X ne possède pas d'inverse, autrement dit 1/X n'est pas un polynôme. L'ensemble des nombres, appelés coefficients, est noté A. Il peut être choisi comme l'un des ensembles de nombres cités ou encore comme n'importe quel anneau commutatif. L'ensemble des coefficients des polynômes peut être, par exemple, constitué de polynômes ou d'éléments d'un corps fini. Il existe d'autres constructions plus générales d'anneaux de polynômes, comme celles traitées dans « Polynôme en plusieurs indéterminées » ou dans « Anneau non commutatif de polynômes ». (fr)
  • En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X2 ou encore X2 – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X2, X3... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée. Cette construction met en lumière les propriétés des éléments de cet ensemble, noté A[X], éléments qui sont appelés polynômes. On retrouve les propriétés qui caractérisent les nombres entiers, par exemple l'addition et la multiplication qui sont associatives et commutatives. Il existe un élément neutre pour l'addition et la multiplication des polynômes, mais si pour l'addition, tout polynôme possède un symétrique, tel n'est pas le cas pour la multiplication. L'élément X ne possède pas d'inverse, autrement dit 1/X n'est pas un polynôme. L'ensemble des nombres, appelés coefficients, est noté A. Il peut être choisi comme l'un des ensembles de nombres cités ou encore comme n'importe quel anneau commutatif. L'ensemble des coefficients des polynômes peut être, par exemple, constitué de polynômes ou d'éléments d'un corps fini. Il existe d'autres constructions plus générales d'anneaux de polynômes, comme celles traitées dans « Polynôme en plusieurs indéterminées » ou dans « Anneau non commutatif de polynômes ». (fr)
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  • En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X2 ou encore X2 – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X2, X3... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée. (fr)
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  • Construction de l'anneau des polynômes (fr)
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