| dbo:abstract
|
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens). En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues : La première (1m+23=32) est la seule solution où l'un de a, b ou c vaut 1, selon la conjecture de Catalan, prouvée en 2002 par Preda Mihăilescu. Alors que ce cas conduit à une infinité de solutions de (1) (puisque nous pouvons choisir n'importe quel m pour m > 6), ces solutions ne donnent qu'un seul triplet de valeurs (am, bn, ck). On sait par le théorème de Darmon-Granville, qui utilise le théorème de Faltings, que pour tout choix d'entiers fixés positifs m, n et k satisfaisant (2), il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a, b, c) solutions de (1); mais la conjecture de Fermat-Catalan est une affirmation beaucoup plus forte, puisqu'elle permet une infinité d'ensembles d'exposants m, n et k. La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan. La conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de Fermat-Catalan utilisent une fois 2 comme exposant. (fr)
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens). En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues : La première (1m+23=32) est la seule solution où l'un de a, b ou c vaut 1, selon la conjecture de Catalan, prouvée en 2002 par Preda Mihăilescu. Alors que ce cas conduit à une infinité de solutions de (1) (puisque nous pouvons choisir n'importe quel m pour m > 6), ces solutions ne donnent qu'un seul triplet de valeurs (am, bn, ck). On sait par le théorème de Darmon-Granville, qui utilise le théorème de Faltings, que pour tout choix d'entiers fixés positifs m, n et k satisfaisant (2), il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a, b, c) solutions de (1); mais la conjecture de Fermat-Catalan est une affirmation beaucoup plus forte, puisqu'elle permet une infinité d'ensembles d'exposants m, n et k. La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan. La conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de Fermat-Catalan utilisent une fois 2 comme exposant. (fr)
|
| rdfs:comment
|
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens). (fr)
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens). (fr)
|
