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- Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, logique du premier ordre, logique quantificationnelle, ou tout simplement calcul des prédicats, est une formalisation du langage des mathématiques, proposée par Gottlob Frege, entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle. La logique du premier ordre comporte deux parties :
* la syntaxe définit le vocabulaire symbolique de base ainsi que les règles permettant de construire des énoncés complexes,
* la sémantique interprète ces énoncés comme exprimant des relations entre les éléments d'un domaine, également appelé modèle. Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques :
* les constituants servant à identifier ou nommer des éléments du domaine : variables, symboles de constantes, termes ;
* les constituants servant à exprimer des propriétés ou des relations entre ces éléments : prédicats et formules. Un prédicat est une expression linguistique qui peut être reliée à un ou plusieurs éléments du domaine pour former une phrase. Par exemple, dans la phrase « Mars est une planète », l'expression « est une planète » est un prédicat qui est relié au nom (symbole de constante) « Mars » pour former une phrase. Et dans la phrase « Jupiter est plus grand que Mars », l'expression « est plus grand que » est un prédicat qui se relie aux deux noms, « Jupiter » et « Mars », pour former une phrase. En logique mathématique, lorsqu'un prédicat est lié à une expression, on dit qu'il exprime une propriété (telle que la propriété d'être une planète), et lorsqu'il est lié à deux ou plusieurs expressions, on dit qu'il exprime une relation (telle que la relation d'être plus grand). Ainsi on peut raisonner sur des énoncés comme « Tout est gentil » et « Il existe un tel que pour tout , est ami avec », ce qui exprimé symboliquement se traduit par la formule : et . Il convient de noter cependant que la logique du premier ordre ne contient aucune relation spécifique (comme telle relation d'ordre, d'inclusion ou d'égalité) ; en fait, il ne s'agit que d'étudier la façon dont on doit parler et raisonner avec les expressions du langage mathématique. Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont :
* l'utilisation de variables comme , etc. pour dénoter des éléments du domaine d'interprétation ;
* l'utilisation de prédicats (ou relations) sur les éléments ;
* l'utilisation de connecteurs logiques (et, ou, implique etc.) ;
* l'utilisation de deux quantificateurs, l'un universel (« Quel que soit », « pour tout » noté ∀) et l'autre existentiel (« il existe au moins un … tel que », noté ∃). Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est l'affirmation que deux éléments sont les mêmes, et qui est axiomatisée en conséquence. Suivant le contexte, on peut parler simplement de calcul des prédicats pour le calcul des prédicats égalitaire. On parle de logique du premier ordre par opposition aux logiques d'ordre supérieur, où l'on peut aussi quantifier sur les prédicats ou les fonctions en plus des variables. En outre, cet article ne traite que de la logique du premier ordre classique, mais on notera qu'il existe aussi une logique du premier ordre intuitionniste. (fr)
- Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, logique du premier ordre, logique quantificationnelle, ou tout simplement calcul des prédicats, est une formalisation du langage des mathématiques, proposée par Gottlob Frege, entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle. La logique du premier ordre comporte deux parties :
* la syntaxe définit le vocabulaire symbolique de base ainsi que les règles permettant de construire des énoncés complexes,
* la sémantique interprète ces énoncés comme exprimant des relations entre les éléments d'un domaine, également appelé modèle. Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques :
* les constituants servant à identifier ou nommer des éléments du domaine : variables, symboles de constantes, termes ;
* les constituants servant à exprimer des propriétés ou des relations entre ces éléments : prédicats et formules. Un prédicat est une expression linguistique qui peut être reliée à un ou plusieurs éléments du domaine pour former une phrase. Par exemple, dans la phrase « Mars est une planète », l'expression « est une planète » est un prédicat qui est relié au nom (symbole de constante) « Mars » pour former une phrase. Et dans la phrase « Jupiter est plus grand que Mars », l'expression « est plus grand que » est un prédicat qui se relie aux deux noms, « Jupiter » et « Mars », pour former une phrase. En logique mathématique, lorsqu'un prédicat est lié à une expression, on dit qu'il exprime une propriété (telle que la propriété d'être une planète), et lorsqu'il est lié à deux ou plusieurs expressions, on dit qu'il exprime une relation (telle que la relation d'être plus grand). Ainsi on peut raisonner sur des énoncés comme « Tout est gentil » et « Il existe un tel que pour tout , est ami avec », ce qui exprimé symboliquement se traduit par la formule : et . Il convient de noter cependant que la logique du premier ordre ne contient aucune relation spécifique (comme telle relation d'ordre, d'inclusion ou d'égalité) ; en fait, il ne s'agit que d'étudier la façon dont on doit parler et raisonner avec les expressions du langage mathématique. Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont :
* l'utilisation de variables comme , etc. pour dénoter des éléments du domaine d'interprétation ;
* l'utilisation de prédicats (ou relations) sur les éléments ;
* l'utilisation de connecteurs logiques (et, ou, implique etc.) ;
* l'utilisation de deux quantificateurs, l'un universel (« Quel que soit », « pour tout » noté ∀) et l'autre existentiel (« il existe au moins un … tel que », noté ∃). Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est l'affirmation que deux éléments sont les mêmes, et qui est axiomatisée en conséquence. Suivant le contexte, on peut parler simplement de calcul des prédicats pour le calcul des prédicats égalitaire. On parle de logique du premier ordre par opposition aux logiques d'ordre supérieur, où l'on peut aussi quantifier sur les prédicats ou les fonctions en plus des variables. En outre, cet article ne traite que de la logique du premier ordre classique, mais on notera qu'il existe aussi une logique du premier ordre intuitionniste. (fr)
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- Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, logique du premier ordre, logique quantificationnelle, ou tout simplement calcul des prédicats, est une formalisation du langage des mathématiques, proposée par Gottlob Frege, entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle. La logique du premier ordre comporte deux parties : Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques : et . Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont : (fr)
- Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, logique du premier ordre, logique quantificationnelle, ou tout simplement calcul des prédicats, est une formalisation du langage des mathématiques, proposée par Gottlob Frege, entre la fin du XIXe siècle et le début du XXe siècle. La logique du premier ordre comporte deux parties : Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques : et . Les traits caractéristiques de la logique du premier ordre sont : (fr)
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