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- En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève (en). Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp. Son utilité réside dans le fait que certains de ces espaces ont une structure plus simple que d'autres, par exemple L2 qui est un espace de Hilbert, ou qu'ils offrent un cadre facilitant certains calculs, comme L1 et L∞. Par conséquent, on peut démontrer des théorèmes sur les cas les plus compliqués en commençant par les prouver dans deux cas simples, puis en utilisant le théorème de Riesz-Thorin pour passer des cas simples aux cas compliqués. Le (en) est similaire, mais s'applique aux opérateurs quasi linéaires. (fr)
- En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève (en). Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp. Son utilité réside dans le fait que certains de ces espaces ont une structure plus simple que d'autres, par exemple L2 qui est un espace de Hilbert, ou qu'ils offrent un cadre facilitant certains calculs, comme L1 et L∞. Par conséquent, on peut démontrer des théorèmes sur les cas les plus compliqués en commençant par les prouver dans deux cas simples, puis en utilisant le théorème de Riesz-Thorin pour passer des cas simples aux cas compliqués. Le (en) est similaire, mais s'applique aux opérateurs quasi linéaires. (fr)
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- Pour et où , on note
D'après le cas extrémal de l'inégalité de Hölder, on a
donc
Comme , les fonctions continues à support compact sont denses dans et et le supremum peut être pris sur cet ensemble. Dans la suite, on suppose donc et continues à support compact.
Maintenant, pour et , on pose :
*
*
*
*
Nous avons , et donc aussi pour .
On peut en conclure l'existence de la fonction définie par :
: pour
Nous affirmons en outre que la fonction ainsi définie est analytique dans la bande ouverte . Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que, pour et , on a :
* ;
* ;
* .
Ceci se vérifie aisément puisque
:
et puisque est continue à support compact.
On procède de la même manière pour établir le deuxième point et le troisième point est une conséquence du premier.
Maintenant, on remarque que :
et que :
De même, on a :
:
On en déduit que :
: ;
:.
On remarque aussi que , , et donc que .
En utilisant le théorème des trois droites, on obtient que :
soit encore : (fr)
- Pour et où , on note
D'après le cas extrémal de l'inégalité de Hölder, on a
donc
Comme , les fonctions continues à support compact sont denses dans et et le supremum peut être pris sur cet ensemble. Dans la suite, on suppose donc et continues à support compact.
Maintenant, pour et , on pose :
*
*
*
*
Nous avons , et donc aussi pour .
On peut en conclure l'existence de la fonction définie par :
: pour
Nous affirmons en outre que la fonction ainsi définie est analytique dans la bande ouverte . Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que, pour et , on a :
* ;
* ;
* .
Ceci se vérifie aisément puisque
:
et puisque est continue à support compact.
On procède de la même manière pour établir le deuxième point et le troisième point est une conséquence du premier.
Maintenant, on remarque que :
et que :
De même, on a :
:
On en déduit que :
: ;
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On remarque aussi que , , et donc que .
En utilisant le théorème des trois droites, on obtient que :
soit encore : (fr)
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- Lars Hörmander (fr)
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- Cambridge, Mass. (fr)
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- Thorin (fr)
- Hörmander (fr)
- Glazman (fr)
- Lyubich (fr)
- Mitjagin [Mityagin] (fr)
- Thorin (fr)
- Hörmander (fr)
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- Mitjagin [Mityagin] (fr)
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- L. (fr)
- Yu. I. (fr)
- I. M. (fr)
- B. S. (fr)
- G. O. (fr)
- L. (fr)
- Yu. I. (fr)
- I. M. (fr)
- B. S. (fr)
- G. O. (fr)
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| prop-fr:sousTitre
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- An Introduction (fr)
- An Introduction (fr)
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| prop-fr:titre
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- Interpolation Spaces (fr)
- The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (fr)
- Finite-Dimensional Linear Analysis : A Systematic Presentation in Problem Form (fr)
- An interpolation theorem for modular spaces (fr)
- Classical Fourier Analysis (fr)
- Linear Operators, Parts I and II (fr)
- Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications (fr)
- Démonstration pour et , dans le cas de la mesure de Lebesgue sur un ouvert de ℝ (fr)
- Interpolation Spaces (fr)
- The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (fr)
- Finite-Dimensional Linear Analysis : A Systematic Presentation in Problem Form (fr)
- An interpolation theorem for modular spaces (fr)
- Classical Fourier Analysis (fr)
- Linear Operators, Parts I and II (fr)
- Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications (fr)
- Démonstration pour et , dans le cas de la mesure de Lebesgue sur un ouvert de ℝ (fr)
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- En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève (en). (fr)
- En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève (en). (fr)
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- Riesz–Thorin theorem (en)
- Théorème de Riesz-Thorin (fr)
- リース＝ソリンの定理 (ja)
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