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- En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M) = OM2 - R2. Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point. La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre. Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique. (fr)
- En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M) = OM2 - R2. Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point. La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre. Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique. (fr)
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- Il suffit de remarquer que :
: (fr)
- Il existe de nombreuses démonstrations possibles de ce théorème. Certaines font appel à des propriétés des triangles semblables et des angles inscrits, d'autres utilisent le produit scalaire.
Par les triangles semblables.
:On démontre que le produit ne dépend pas de la sécante, mais seulement de la position du point par rapport au centre du cercle. On envisage donc deux sécantes passant par , l'une rencontrant le cercle en et , l'autre le rencontrant en et . On démontre alors que les triangles et sont semblables :
:* Les angles et sont égaux puisqu'ils interceptent le même arc de cercle .
:* Les angles et sont égaux car confondus si est extérieur au cercle ou opposés par le sommet s'il est intérieur au cercle.
:Puisque les triangles et sont semblables, l'égalité est vérifiée et on en déduit que
:Ce qui prouve l'indépendance du produit pour la droite choisie.
: Si, comme droite particulière, on choisit une droite passant par , le centre du cercle, l'une des distances vaut , et l'autre . Le produit des distances est donc bien égal à . Le produit des mesures algébriques est donc bien toujours .
right|300 px
Par le produit scalaire
: On construit le point , symétrique du point par rapport à . On calcule alors le produit scalaire des vecteurs et sous deux formes différentes.
: En projetant orthogonalement sur en
::
: En utilisant le centre du cercle, milieu du segment
::
: Et on obtient l'égalité cherchée. (fr)
- Il suffit de remarquer que :
: (fr)
- Il existe de nombreuses démonstrations possibles de ce théorème. Certaines font appel à des propriétés des triangles semblables et des angles inscrits, d'autres utilisent le produit scalaire.
Par les triangles semblables.
:On démontre que le produit ne dépend pas de la sécante, mais seulement de la position du point par rapport au centre du cercle. On envisage donc deux sécantes passant par , l'une rencontrant le cercle en et , l'autre le rencontrant en et . On démontre alors que les triangles et sont semblables :
:* Les angles et sont égaux puisqu'ils interceptent le même arc de cercle .
:* Les angles et sont égaux car confondus si est extérieur au cercle ou opposés par le sommet s'il est intérieur au cercle.
:Puisque les triangles et sont semblables, l'égalité est vérifiée et on en déduit que
:Ce qui prouve l'indépendance du produit pour la droite choisie.
: Si, comme droite particulière, on choisit une droite passant par , le centre du cercle, l'une des distances vaut , et l'autre . Le produit des distances est donc bien égal à . Le produit des mesures algébriques est donc bien toujours .
right|300 px
Par le produit scalaire
: On construit le point , symétrique du point par rapport à . On calcule alors le produit scalaire des vecteurs et sous deux formes différentes.
: En projetant orthogonalement sur en
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: En utilisant le centre du cercle, milieu du segment
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: Et on obtient l'égalité cherchée. (fr)
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- Démonstration (fr)
- Démonstrations (fr)
- Démonstration (fr)
- Démonstrations (fr)
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- En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M) = OM2 - R2. Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point. Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique. (fr)
- En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme P(M) = OM2 - R2. Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point. Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique. (fr)
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- Macht (meetkunde) (nl)
- Potencia de un punto (es)
- Potentzia (geometria) (eu)
- Potência (geometria) (pt)
- Potęga punktu (pl)
- Puissance d'un point par rapport à un cercle (fr)
- Степінь точки відносно кола (uk)
- 方べきの定理 (ja)
- Macht (meetkunde) (nl)
- Potencia de un punto (es)
- Potentzia (geometria) (eu)
- Potência (geometria) (pt)
- Potęga punktu (pl)
- Puissance d'un point par rapport à un cercle (fr)
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