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- En mathématiques, un opérateur monotone est une multifonction définie entre espaces préhilbertiens, ou plus généralement d'un espace de Banach dans son dual topologique, qui possède une propriété de monotonie que nous précisons dans les définitions ci-dessous. Lorsque cet opérateur est une « simple » fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de monotonie revient à supposer la croissance (non nécessairement stricte) de cette fonction. Lorsque cet opérateur est une application linéaire (non nécessairement autoadjointe), cette propriété de monotonie revient à supposer la semi-définie positivité de l'application. Parmi les opérateurs monotones, il faut distinguer ceux que l'on qualifie de monotones maximaux. Ils possèdent une propriété de maximalité qui s'exprime en termes d'inclusion de graphe et qui leur donne des propriétés remarquables. Ainsi, pour un opérateur monotone , l'inclusion fonctionnelle dans laquelle est un ensemble, a au plus une solution , alors que si monotone maximal, cette inclusion a une et une seule solution. Exemples.
* Soient un espace de Banach, l'ensemble de ses parties et une fonction convexe propre. Alors l'application sous-différentiel de , , est un opérateur monotone (on dit qu'il « dérive du potentiel ») ; il est monotone maximal si est fermée.
* Si est un espace de Hilbert, la multifonction cône normal à un convexe : est un opérateur monotone. C'est un cas particulier du précédent, puisque le cône normal est le sous-différentiel de la fonction indicatrice de (une fonction convexe lorsque est convexe). Elle est monotone maximale si est fermé.
* Le projecteur sur un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert est monotone. (fr)
- En mathématiques, un opérateur monotone est une multifonction définie entre espaces préhilbertiens, ou plus généralement d'un espace de Banach dans son dual topologique, qui possède une propriété de monotonie que nous précisons dans les définitions ci-dessous. Lorsque cet opérateur est une « simple » fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de monotonie revient à supposer la croissance (non nécessairement stricte) de cette fonction. Lorsque cet opérateur est une application linéaire (non nécessairement autoadjointe), cette propriété de monotonie revient à supposer la semi-définie positivité de l'application. Parmi les opérateurs monotones, il faut distinguer ceux que l'on qualifie de monotones maximaux. Ils possèdent une propriété de maximalité qui s'exprime en termes d'inclusion de graphe et qui leur donne des propriétés remarquables. Ainsi, pour un opérateur monotone , l'inclusion fonctionnelle dans laquelle est un ensemble, a au plus une solution , alors que si monotone maximal, cette inclusion a une et une seule solution. Exemples.
* Soient un espace de Banach, l'ensemble de ses parties et une fonction convexe propre. Alors l'application sous-différentiel de , , est un opérateur monotone (on dit qu'il « dérive du potentiel ») ; il est monotone maximal si est fermée.
* Si est un espace de Hilbert, la multifonction cône normal à un convexe : est un opérateur monotone. C'est un cas particulier du précédent, puisque le cône normal est le sous-différentiel de la fonction indicatrice de (une fonction convexe lorsque est convexe). Elle est monotone maximale si est fermé.
* Le projecteur sur un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert est monotone. (fr)
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- En mathématiques, un opérateur monotone est une multifonction définie entre espaces préhilbertiens, ou plus généralement d'un espace de Banach dans son dual topologique, qui possède une propriété de monotonie que nous précisons dans les définitions ci-dessous. Lorsque cet opérateur est une « simple » fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de monotonie revient à supposer la croissance (non nécessairement stricte) de cette fonction. Lorsque cet opérateur est une application linéaire (non nécessairement autoadjointe), cette propriété de monotonie revient à supposer la semi-définie positivité de l'application. (fr)
- En mathématiques, un opérateur monotone est une multifonction définie entre espaces préhilbertiens, ou plus généralement d'un espace de Banach dans son dual topologique, qui possède une propriété de monotonie que nous précisons dans les définitions ci-dessous. Lorsque cet opérateur est une « simple » fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de monotonie revient à supposer la croissance (non nécessairement stricte) de cette fonction. Lorsque cet opérateur est une application linéaire (non nécessairement autoadjointe), cette propriété de monotonie revient à supposer la semi-définie positivité de l'application. (fr)
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