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- En algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Ici l'expression deg S, si S désigne un polynôme, signifie le degré de S. Cette division confère à l'ensemble des polynômes une arithmétique analogue à celle des nombres entiers, avec pour conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou encore un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, où les nombres premiers sont remplacés par les polynômes unitaires irréductibles (cf. l'article « Arithmétique des polynômes »). Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. Elle est utilisée pour les fractions rationnelles et permet une décomposition en éléments simples. (fr)
- En algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Ici l'expression deg S, si S désigne un polynôme, signifie le degré de S. Cette division confère à l'ensemble des polynômes une arithmétique analogue à celle des nombres entiers, avec pour conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou encore un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, où les nombres premiers sont remplacés par les polynômes unitaires irréductibles (cf. l'article « Arithmétique des polynômes »). Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. Elle est utilisée pour les fractions rationnelles et permet une décomposition en éléments simples. (fr)
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- V. & F. Bayart (fr)
- V. & F. Bayart (fr)
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- La démonstration est analogue à la précédente :
* Le couple , s'il existe, est unique :
On suppose l'existence de deux couples , résultat de la division selon les puissances croissantes de A par B ; on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :
Le polynôme Xp+1 ne contient aucun terme de degré strictement inférieur à p + 1. Comme Q1 et Q2 sont de degrés inférieurs ou égaux à p leur différence est un polynôme de degré inférieur ou égal à p. Comme B contient un terme constant, si Q1 - Q2 n'est pas nul, B est un polynôme contenant au moins un monôme non nul de degré inférieur ou égal à p. Ce monôme ne peut être annulé par le polynôme X'p+1 car tous ses monômes sont au moins de degré p + 1. On en déduit que Q1 est égal à Q2 et, par conséquent que R1 est égal à R2.
* Il existe un couple satisfaisant l'identité de la division selon les puissances croissantes :
Cette fois ci, il est plus simple de voir les polynômes A et B dans l'autre sens, avec n désignant le maximum des degrés de A et de B :
On raisonne encore une fois par récurrence sur p. Si p est égal à 0 :
Le degré de Q est moins l'infini si a0 est nul, soit nul sinon. Il est toujours inférieur ou égal à 0, la valeur de p.
On suppose maintenant le résultat vrai pour toute valeur inférieure ou égale à p et montrons-le à l'ordre p + 1. L'hypothèse de récurrence montre l'existence d'un polynôme Rp tel que :
Il est encore possible d'appliquer la division selon les puissances croissantes à l'ordre 0 sur Rp :
En remplaçant la valeur de Rp dans l'égalité ', on obtient :
en ayant posé
ce qui établit la proposition. (fr)
- La démonstration est analogue à la précédente :
* Le couple , s'il existe, est unique :
On suppose l'existence de deux couples , résultat de la division selon les puissances croissantes de A par B ; on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :
Le polynôme Xp+1 ne contient aucun terme de degré strictement inférieur à p + 1. Comme Q1 et Q2 sont de degrés inférieurs ou égaux à p leur différence est un polynôme de degré inférieur ou égal à p. Comme B contient un terme constant, si Q1 - Q2 n'est pas nul, B est un polynôme contenant au moins un monôme non nul de degré inférieur ou égal à p. Ce monôme ne peut être annulé par le polynôme X'p+1 car tous ses monômes sont au moins de degré p + 1. On en déduit que Q1 est égal à Q2 et, par conséquent que R1 est égal à R2.
* Il existe un couple satisfaisant l'identité de la division selon les puissances croissantes :
Cette fois ci, il est plus simple de voir les polynômes A et B dans l'autre sens, avec n désignant le maximum des degrés de A et de B :
On raisonne encore une fois par récurrence sur p. Si p est égal à 0 :
Le degré de Q est moins l'infini si a0 est nul, soit nul sinon. Il est toujours inférieur ou égal à 0, la valeur de p.
On suppose maintenant le résultat vrai pour toute valeur inférieure ou égale à p et montrons-le à l'ordre p + 1. L'hypothèse de récurrence montre l'existence d'un polynôme Rp tel que :
Il est encore possible d'appliquer la division selon les puissances croissantes à l'ordre 0 sur Rp :
En remplaçant la valeur de Rp dans l'égalité ', on obtient :
en ayant posé
ce qui établit la proposition. (fr)
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- bibmath.net (fr)
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- Démonstration (fr)
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- http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/diveucli.html|titre=Division euclidienne (fr)
- http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/diveucli.html|titre=Division euclidienne (fr)
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- En algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. Elle est utilisée pour les fractions rationnelles et permet une décomposition en éléments simples. (fr)
- En algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Il existe une deuxième division, dite selon les puissances croissantes. Elle est utilisée pour les fractions rationnelles et permet une décomposition en éléments simples. (fr)
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- Division d'un polynôme (fr)
- Divisione dei polinomi (it)
- Divisió llarga polinòmica (ca)
- División polinomial (es)
- Divisão polinomial (pt)
- Dzielenie wielomianów (pl)
- Polynomdivision (de)
- Polynomdivision (sv)
- Polynomial long division (en)
- 多项式除法 (zh)
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