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- Pour tout la substitution de restreinte à par son développement de Taylor d’ordre autour de la borne inférieure implique que le remplacement de par le reste n'affecte pas la valeur de l’écart : l’ordre assure en effet l’exactitude de la formule de quadrature pour chaque terme polynomial.
Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque implique :
: pour tout
Il en découle
En choisissant il vient
Remarque : ce développement n’a pas pour objectif de déterminer la constante la plus faible. (fr)
- Les tirages :
Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur et de densité
La variable aléatoire est alors d’espérance
:
et de variance
:
résultat :
C’est une conséquence directe du théorème central limite.
résultat :
:
La conclusion découle alors du résultat.
Cette inégalité peut être montrée plus rigoureusement à l’aide de l’inégalité de Hölder pour tout
résultat :
Puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, on peut supposer sans restreindre la généralité que l’intégrale de est nulle. Dans ce cas, le théorème de Rolle appliqué à une primitive de implique l’existence d’un point tel que . A l’aide du théorème de Taylor, pour tout , . Par conséquent,
:
d’où le résultat.
résultat :
Notons l’un des intervalles, puis la fonction restreinte à après soustraction d’une constante égale à la moyenne de sur . Ainsi et l’intégrale de sur est nulle.
On utilise maintenant le résultat pour caractériser l’erreur d’intégration de sur issue de tirages, soit qui, puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, est égale à :
:
En utilisant l’indépendance des variables et l’hypothèse que les sont tous égaux à , il vient
: (fr)
- Pour tout la substitution de restreinte à par son développement de Taylor d’ordre autour de la borne inférieure implique que le remplacement de par le reste n'affecte pas la valeur de l’écart : l’ordre assure en effet l’exactitude de la formule de quadrature pour chaque terme polynomial.
Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque implique :
: pour tout
Il en découle
En choisissant il vient
Remarque : ce développement n’a pas pour objectif de déterminer la constante la plus faible. (fr)
- Les tirages :
Soit une variable aléatoire de loi uniforme sur et de densité
La variable aléatoire est alors d’espérance
:
et de variance
:
résultat :
C’est une conséquence directe du théorème central limite.
résultat :
:
La conclusion découle alors du résultat.
Cette inégalité peut être montrée plus rigoureusement à l’aide de l’inégalité de Hölder pour tout
résultat :
Puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, on peut supposer sans restreindre la généralité que l’intégrale de est nulle. Dans ce cas, le théorème de Rolle appliqué à une primitive de implique l’existence d’un point tel que . A l’aide du théorème de Taylor, pour tout , . Par conséquent,
:
d’où le résultat.
résultat :
Notons l’un des intervalles, puis la fonction restreinte à après soustraction d’une constante égale à la moyenne de sur . Ainsi et l’intégrale de sur est nulle.
On utilise maintenant le résultat pour caractériser l’erreur d’intégration de sur issue de tirages, soit qui, puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, est égale à :
:
En utilisant l’indépendance des variables et l’hypothèse que les sont tous égaux à , il vient
: (fr)
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