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  • En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial, les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers, en reliant les centres de faces adjacentes. Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.On peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits.Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre régulier donne l'icosaèdre, le tétraèdre est son propre dual.Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.Les duaux des solides archimédiens sont les solides de Catalan.Les duaux des prismes sont des diamants (ou bipyramides), ceux des antiprismes des antidiamants.
  • 双対多面体(そうついためんたい)、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のことをいう。具体的には、面の重心を新たな頂点とし、辺で接する面の重心同士を辺で結び(したがって辺の数は変わらない)、頂点で接する面の重心を結ぶ多角形を面とする。ただし、定量的な長さや角度を問題とせず、トポロジー(頂点・辺・面の接する関係)だけを問題とすることもある。3次元における双対多胞体である。多面体について述べていることが自明なときは単に双対という。双対多面体の双対多面体は元の多面体である。自身と双対関係にある多面体を自己双対多面体という。
  • Em geometria, os poliedros estão associados aos pares, chamados duais, onde os vértices de um inscrevem às faces do outro. O dual do dual é o poliedro original. O dual de um poliedro com vértices equivalentes é um com faces equivalentes, e de um com arestas equivalentes é outro com arestas equivalentes. Assim os poliedros regulares — os Sólidos Platónicos e os Poliedros de Kepler-Poinsot — estão organizados em pares de duais.Os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes são os Sólidos de Catalan e vice-versa.O dual de um poliedro regular é o poliedro que se obtém unindo por segmentos de recta os centros das faces consecutivas do poliedro dado.De acordo com Kepler, a dualidade estava associada aos gêneros dos sólidos, o dual de um sólido masculino sendo um sólido feminino, e vice-e-versa. O tetraedro é um sólido hermafrodita, porque ele é inscrito nele mesmo.== Referências ==
  • Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.
  • In de ruimtemeetkunde is het duale veelvlak van een veelvlak de figuur met als hoekpunten de middens van de zijvlakken van het oorspronkelijke veelvlak. De twee ruimtelijke figuren zijn bijgevolg erg verwant met elkaar; een voorbeeld is de kubus met als duaal veelvlak de octaëder.De duale van de duale is congruent met het oorspronkelijke veelvlak. Klassen van veelvlakken komen dus voor in duale paren.De meeste regelmatige veelvlakken, zoals de platonische lichamen en de Kepler-Poinsot-lichamen, worden gerangschikt in duale paren.Wiskundige dualiteit wordt soms ook reciprociteit of polariteit genoemd.
  • Duální mnohostěn je takový mnohostěn, který vznikne, vytvoříme-li ze stěn nějakého původního mnohostěnu vrcholy a spojíme je (vytvoříme hrany) podle toho, zdali stěny v původním mnohostěnu sousedily.Vezmeme-li kupříkladu krychli a vytvoříme k ní duální mnohostěn, vznikne osmistěn. (Viz obrázek.)
  • Wielościan dualny W' do wielościanu W to wielościan skonstruowany w następujący sposób: W środku masy każdej ściany W umieszczamy wierzchołek W'. Jeśli dwie ściany W miały wspólną krawędź, ich środki łączymy krawędzią w W'. Wypełniamy powstałe brzegi wielokątów ścianami, a ograniczoną przez nie przestrzeń wnętrzem wielościanu W'. Powiększamy proporcjonalnie cały wielościan W' tak aby średnia odległość wierzchołków od jego środka masy była identyczna jak w przypadku W.Wielościan W' : ma tyle samo krawędzi co W; tyle wierzchołków, ile W ma ścian; tyle ścian, ile W miał wierzchołków.Wielościan dualny do W' to ponownie wielościan W.Przykłady:Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą.Np. jeśli połączymy odpowiednio środki ścian dwunastościanu foremnego, to otrzymamy dwudziestościan foremny (lub, ściślej rzecz ujmując, "szkielet" dwudziestościanu foremnego, jego krawędzie). I odwrotnie - po połączeniu środków ścian dwudziestościanu foremnego, powstanie dwunastościan foremny. Podobną własność ma para - sześcian i ośmiościan foremnyParę wielościanów dualnych stanowią również przykładowo sześcio-ośmiościan oraz dwunastościan rombowy.
  • In geometry, polyhedra are associated into pairs called duals, where the vertices of one correspond to the faces of the other. Starting with any given polyhedron, the dual of its dual is the original polyhedron. The dual of an isogonal polyhedron, having equivalent vertices, is one which is isohedral, having equivalent faces, and of one which is isotoxal, having equivalent edges, is also isotoxal. The regular polyhedra — the Platonic solids and Kepler-Poinsot polyhedra — form dual pairs, with the exception of the regular tetrahedron which is self-dual.Duality is closely related to reciprocity or polarity.
  • Poliedro dual o conjugado, en geometría, es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. El poliedro dual del dual es similar al original. El dual de un poliedro con vértices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes. Poliedros regulares como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot, están asociados a poliedros duales.La dualidad se define usualmente en términos de reciprocidad polar en una esfera concéntrica. Así, cada vértice está asociado con un plano de una cara de modo tal que el radio del centro al vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias del centro a cada uno es igual al cuadrado del radio. En coordenadas, para la reciprocidad en la esferax2 + y2 + z2 = r2, el vértice (x0, y0, z0) está asociado con el planox0x + y0y + z0z = r2.Por tanto, los vértices del dual son los recíprocos de los planos de la cara del original, y las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original. Además, cualesquiera dos vértices adyacentes definen una arista, y estas tendrán reciprocidad con dos caras adyacentes que se intersecan para definir una arista del dual. Es posible generalizar a espacio n-dimensional, por lo que se puede hablar de politopos duales. Entonces, los vértices de un politopo se corresponden con los elementos (n-1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento (j-1)-dimensional se corresponden con los j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento (n-1)-dimensional. Cuando el dual de una figura es la figura misma (como en el caso del tetraedro o del icositetracoron) se dice que esta es auto-dual. El dual del tipo panal de abejas puede definirse de modo similar.La forma exacta del dual dependerá de la esfera respecto de la cual se establezca la reciprocidad, pues la esfera creará distorsiones cuando se mueva alrededor del dual. El centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similaridad. Si están presentes múltiples ejes de simetría, estos se intersecarán necesariamente en un único punto, el que usualmente se toma como centro. Si esto falla. pueden usarse una esfera circunscrita, una esfera inscrita, o una esfera media (una con todas las aristas como tangentes. Puede demostrarse que todos los poliedros convexos pueden distorsionarse a una forma canónica donde existe una esfera media tal que los puntos donde las aristas la tocan promedian el centro del círculo, y esta forma es única excepto por las congruencias.Se puede distorsionar un poliedro dual de modo tal que no se posible ya obtenerlo por reciprocidad del original en ninguna esfera. En este caso se dice que los dos poliedros son aún topológicamente duales.Cabe notar que los vértices y las aristas de un poliedro convexo pueden proyectarse para formar un grafo sobre la esfera o sobre un plano, y el correspondiente grafo formado por el dual de este poliedro es su grafo dual.El concepto de dualidad que se emplea aquí también está relacionado con la dualidad en geometría proyectiva, donde las líneas y las aristas se intercambian; y de hecho es una versión particular de la misma.Si un poliedro tiene un elemento que pasa a través del centro de una esfera, el elemento correspondiente de su dual pasará a través de él o estará en el infinito. Dado que el espacio euclidiano infinito tradicional no alcanza nunca el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, debe formarse agregando el plano requerido en el infinito.
  • 쌍대다면체는 각 면의 중심을 꼭지점으로 해서 이어 만든 다면체이다. 그렇기 때문에 어떤 다면체의 면의 개수는 그 쌍대다면체의 꼭지점의 개수와 같다. 그러므로 어떤 다면체의 쌍대다면체의 쌍대다면체는 다시 그 도형이 된다.
  • En geometria, el políedre dual d'un políedre P és un políedre Q, obtingut mitjançant l'intercanvi dels papers dels vèrtex i les cares de P. El dual de Q és altre cop P.Si P i Q tenen la mateixa estructura combinatòria, P s'anomena autodual. Entre els 5 sòlids platònics, el tetràedre és autodual, mentre que el cub i l'octàedre són d'un dual de l'altre, igual com licosàedre i el dodecàedre també són duals l'un de l'altre.El dual d'un sòlid arquimedià és un sòlid de Catalan.
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  • En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial, les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers, en reliant les centres de faces adjacentes.
  • 双対多面体(そうついためんたい)、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のことをいう。具体的には、面の重心を新たな頂点とし、辺で接する面の重心同士を辺で結び(したがって辺の数は変わらない)、頂点で接する面の重心を結ぶ多角形を面とする。ただし、定量的な長さや角度を問題とせず、トポロジー(頂点・辺・面の接する関係)だけを問題とすることもある。3次元における双対多胞体である。多面体について述べていることが自明なときは単に双対という。双対多面体の双対多面体は元の多面体である。自身と双対関係にある多面体を自己双対多面体という。
  • Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.
  • Duální mnohostěn je takový mnohostěn, který vznikne, vytvoříme-li ze stěn nějakého původního mnohostěnu vrcholy a spojíme je (vytvoříme hrany) podle toho, zdali stěny v původním mnohostěnu sousedily.Vezmeme-li kupříkladu krychli a vytvoříme k ní duální mnohostěn, vznikne osmistěn. (Viz obrázek.)
  • 쌍대다면체는 각 면의 중심을 꼭지점으로 해서 이어 만든 다면체이다. 그렇기 때문에 어떤 다면체의 면의 개수는 그 쌍대다면체의 꼭지점의 개수와 같다. 그러므로 어떤 다면체의 쌍대다면체의 쌍대다면체는 다시 그 도형이 된다.
  • En geometria, el políedre dual d'un políedre P és un políedre Q, obtingut mitjançant l'intercanvi dels papers dels vèrtex i les cares de P. El dual de Q és altre cop P.Si P i Q tenen la mateixa estructura combinatòria, P s'anomena autodual. Entre els 5 sòlids platònics, el tetràedre és autodual, mentre que el cub i l'octàedre són d'un dual de l'altre, igual com licosàedre i el dodecàedre també són duals l'un de l'altre.El dual d'un sòlid arquimedià és un sòlid de Catalan.
  • Wielościan dualny W' do wielościanu W to wielościan skonstruowany w następujący sposób: W środku masy każdej ściany W umieszczamy wierzchołek W'. Jeśli dwie ściany W miały wspólną krawędź, ich środki łączymy krawędzią w W'. Wypełniamy powstałe brzegi wielokątów ścianami, a ograniczoną przez nie przestrzeń wnętrzem wielościanu W'.
  • In de ruimtemeetkunde is het duale veelvlak van een veelvlak de figuur met als hoekpunten de middens van de zijvlakken van het oorspronkelijke veelvlak. De twee ruimtelijke figuren zijn bijgevolg erg verwant met elkaar; een voorbeeld is de kubus met als duaal veelvlak de octaëder.De duale van de duale is congruent met het oorspronkelijke veelvlak.
  • Poliedro dual o conjugado, en geometría, es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. El poliedro dual del dual es similar al original. El dual de un poliedro con vértices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes.
  • Em geometria, os poliedros estão associados aos pares, chamados duais, onde os vértices de um inscrevem às faces do outro. O dual do dual é o poliedro original. O dual de um poliedro com vértices equivalentes é um com faces equivalentes, e de um com arestas equivalentes é outro com arestas equivalentes.
  • In geometry, polyhedra are associated into pairs called duals, where the vertices of one correspond to the faces of the other. Starting with any given polyhedron, the dual of its dual is the original polyhedron. The dual of an isogonal polyhedron, having equivalent vertices, is one which is isohedral, having equivalent faces, and of one which is isotoxal, having equivalent edges, is also isotoxal.
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  • Dual d'un polyèdre
  • Duaal veelvlak
  • Dual polyhedron
  • Duální mnohostěn
  • Poliedro dual
  • Poliedro dual
  • Poliedro dual
  • Poliedro duale
  • Políedre dual
  • Wielościan dualny
  • Двойственный многогранник
  • 双対多面体
  • 쌍대다면체
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