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En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité et de conduction thermique. Le mouvement du fluide est donc adiabatique, décrit par les équations d'Euler.
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Nous allons démontrer que l'équation précédente contient la conservation de l'énergie. Dans le cas classique cela revient à prendre la composante temporelle de l'équation . La quantité mesure la variation d'une quantité X le long de la trajectoire de l'élément de fluide. Elle correspond donc à la variation de cette quantité transportée par l'élément de fluide. On la note communément , étant le temps propre associé à l'élément de fluide. On obtient ainsi :. En effectuant le produit scalaire de cette équation avec la quadrivitesse, il vient alors, en notant par un point la dérivée par rapport à , :. La quadrivitesse ayant une norme constante, , une quantité du type est nulle. Il vient donc :. Le terme , habituellement noté est appelé expansion de l'élément de fluide. Dans la limite non relativiste, il correspond à la divergence du vecteur vitesse, ce qui correspond au taux de variation de son volume. Ainsi, on a :, ce qui permet de réécrire l'équation en :. Enfin, l'hypothèse de conservation du nombre de particules s'écrit :, où n représente la densité de particules. Elle est reliée à sa densité d'énergie de masse par la formule :, m étant la masse des particules. Cette équation s'interprète par le fait que le nombre de particules de l'élément de fluide étant contant, la variation de la densité de celles-ci le long de l'écoulement est uniquement due à la variation du volume de l'élément En pratique, si l'on repasse en termes de coordonnées, la densité de particules est une fonction des coordonnées d'espace et de temps, . Si l'élément de fluide possède une trajectoire , alors sa variation le long de la trajectoire se fait selon celle de , et correspond donc à :. Ainsi, on obtient :, que l'on peut regrouper en :. Ainsi, l'équation initiale laisse uniquement :, ce qui se réécrit : ; comme annoncé on retrouve la conservation de l'énergie de la particule fluide : :.
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Démonstration 1
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Dynamique des fluides parfaits
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En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité et de conduction thermique. Le mouvement du fluide est donc adiabatique, décrit par les équations d'Euler. Tous les fluides ont une viscosité (sauf un superfluide, ce qui en pratique ne concerne guère que l'hélium à très basse température et l'intérieur d'une étoile à neutrons). Le fluide parfait ne peut donc être qu'une approximation pour une viscosité tendant vers zéro. Cela revient à faire tendre le nombre de Reynolds vers l'infini. Ce type de situation est cependant très courant, par exemple en aérodynamique (où des nombres de Reynolds très grands sont en jeu). Dans ces conditions, les zones de cisaillement important (où la viscosité et la turbulence sont influentes) sont concentrées dans des espaces restreints, appelés couches limites. En cosmologie, les différentes formes de matière qui emplissent l'univers peuvent être considérées, du moins aux échelles où l'univers est homogène comme des fluides parfaits. Comme l'écoulement d'un tel fluide est isentropique sauf en des régions où apparaissent des singularités (choc, couche de glissement) décrites par les relations de Rankine-Hugoniot, l'expansion de l'Univers est parfois décrite comme étant adiabatique, s'identifiant sous certains aspects à la détente d'un gaz sans échange de chaleur avec l'extérieur.