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- Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. Lorsque la fonction est différentiable au sens réel en tout point d'un ouvert, ces équations expriment une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit holomorphe sur cet ouvert. On considère une fonction d'une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :
* la variable complexe est notée , où x, y sont réels ;
* les parties réelle et imaginaire de sont notées respectivement et , c'est-à-dire : , où , sont deux fonctions réelles de deux variables réelles. (fr)
- Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. Lorsque la fonction est différentiable au sens réel en tout point d'un ouvert, ces équations expriment une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit holomorphe sur cet ouvert. On considère une fonction d'une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :
* la variable complexe est notée , où x, y sont réels ;
* les parties réelle et imaginaire de sont notées respectivement et , c'est-à-dire : , où , sont deux fonctions réelles de deux variables réelles. (fr)
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- :On garde les notations précédentes ; en particulier, on note r un réel tel que et , et h un nombre complexe tel que .
* On suppose que soit ℂ-différentiable en : alors lorsque .
** On définit :
***
*** si . Alors : lorsque
*** peut s'écrire : ,
*** ou encore : , où
** Il est clair que l'application est ℝ-linéaire . Par conséquent :
*** est ℝ-différentiable en
*** , , ou : .
* Réciproque : on suppose que soit ℝ-différentiable en et que , autrement dit : , où .
** Par hypothèse, en notant L la ℝ-différentielle de en , on peut écrire :
*** , où lorsque
*** Si , alors, par ℝ-linéarité de L,
*** Ainsi : , et lorsque
*** Si , on en déduit que : lorsque . L'existence de cette limite établit que est ℂ-différentiable en , et que .
*** Ceci prouve aussi que lorsque est ℂ-différentiable en :
**** sa différentielle est l'application .
****. (fr)
- :On garde les notations précédentes ; en particulier, on note r un réel tel que et , et h un nombre complexe tel que .
* On suppose que soit ℂ-différentiable en : alors lorsque .
** On définit :
***
*** si . Alors : lorsque
*** peut s'écrire : ,
*** ou encore : , où
** Il est clair que l'application est ℝ-linéaire . Par conséquent :
*** est ℝ-différentiable en
*** , , ou : .
* Réciproque : on suppose que soit ℝ-différentiable en et que , autrement dit : , où .
** Par hypothèse, en notant L la ℝ-différentielle de en , on peut écrire :
*** , où lorsque
*** Si , alors, par ℝ-linéarité de L,
*** Ainsi : , et lorsque
*** Si , on en déduit que : lorsque . L'existence de cette limite établit que est ℂ-différentiable en , et que .
*** Ceci prouve aussi que lorsque est ℂ-différentiable en :
**** sa différentielle est l'application .
****. (fr)
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- Démonstration du théorème (fr)
- Démonstration du théorème (fr)
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- Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. (fr)
- Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. (fr)
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- Équations de Cauchy-Riemann (fr)
- Cauchy–Riemanns ekvationer (sv)
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann (es)
- Equações de Cauchy–Riemann (pt)
- Równania Cauchy’ego-Riemanna (pl)
- Умови Коші — Рімана (uk)
- 柯西-黎曼方程 (zh)
- Équations de Cauchy-Riemann (fr)
- Cauchy–Riemanns ekvationer (sv)
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann (es)
- Equações de Cauchy–Riemann (pt)
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- Умови Коші — Рімана (uk)
- 柯西-黎曼方程 (zh)
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