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- En analyse complexe, le lemme de Goursat (ou théorème de Goursat) est une version faible du théorème intégral de Cauchy. Selon ce lemme, si une fonction d'une variable complexe est définie et dérivable au voisinage d'un rectangle ou d'un triangle, alors son intégrale curviligne sur le contour est nulle. Initialement, le lemme de Goursat a été pressenti en 1814 par Augustin Louis Cauchy, qui intégra des fonctions d'une variable complexe sur des rectangles. La preuve du lemme de Goursat ne fait intervenir aucun résultat d'analyse complexe : dans les cours de licence ou dans les livres d'introduction, le lemme de Goursat prépare le terrain à la formule intégrale de Cauchy, qui permet de calculer la valeur d'une fonction holomorphe et de ses dérivées en fonction de ses valeurs sur un contour (pas forcément un triangle ou un rectangle). Le lemme de Goursat présente pour seul intérêt des démonstrations plus faciles que la formule intégrale très générale de Cauchy. (fr)
- En analyse complexe, le lemme de Goursat (ou théorème de Goursat) est une version faible du théorème intégral de Cauchy. Selon ce lemme, si une fonction d'une variable complexe est définie et dérivable au voisinage d'un rectangle ou d'un triangle, alors son intégrale curviligne sur le contour est nulle. Initialement, le lemme de Goursat a été pressenti en 1814 par Augustin Louis Cauchy, qui intégra des fonctions d'une variable complexe sur des rectangles. La preuve du lemme de Goursat ne fait intervenir aucun résultat d'analyse complexe : dans les cours de licence ou dans les livres d'introduction, le lemme de Goursat prépare le terrain à la formule intégrale de Cauchy, qui permet de calculer la valeur d'une fonction holomorphe et de ses dérivées en fonction de ses valeurs sur un contour (pas forcément un triangle ou un rectangle). Le lemme de Goursat présente pour seul intérêt des démonstrations plus faciles que la formule intégrale très générale de Cauchy. (fr)
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- Préliminaire
Un rectangle quelconque R1 est l'image d'un rectangle R0 aux côtés parallèles à l'axe des réels et des imaginaires par une rotation r de centre l'un des sommets du rectangle R1.
L'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe h sur R1 est donc l'intégrale curviligne du produit de la dérivée de la rotation r avec la composition de la r par h sur R0 :
:
Or la rotation étant une holomorphie, la composée de celle-ci par une fonction holomorphe est une fonction holomorphe, de plus la dérivée de la rotation est également une holomorphie, donc son produit avec la composition est une holomorphie.
On est donc ramené à prouver que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un rectangle aux côtés parallèles aux axes des réels et des imaginaires est nulle.
Expression de l'intégrale curviligne
:R le rectangle cité précédemment. On fixe B de sorte que R soit inclus dans la domaine de définition de . On effectue les calculs pour . L'intégrale curviligne sur un rectangle est la somme des intégrales curvilignes sur ses quatre côtés. Isolons les trois intégrales où b intervient :
:
Variation des deux premiers termes
:On a pris soin de modifier les paramétrages pour les segments et de sorte de faire sortir au niveau des bornes d'intégration la dépendance par rapport à des deux premières intégrales de droite. La dérivation par rapport à pour ces deux intégrales est alors facile à obtenir :
:
Variation du troisième terme
:D'après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, il vient :
:
:Or, l'équation de Cauchy-Riemann nous permet d'écrire :
:
:En injectant cette expression dans l'intégrale, il vient :
:
Variation de l'intégrale curviligne
:En combinant les différentes dérivées précédemment obtenues, on trouve:
:
:Donc l'intégrale curviligne de sur le contour du rectangle plein est constant en fonction de . Par suite, elle vaut la valeur pour :
:
vignette|Rectangle et ses subdivisions adaptées à chaque point où la fonction n'est pas holomorphe.
vignette|Pour le cas où le point est un sommet, le rectangle peut se subdiviser en quatre rectangles dont un contient le point en question. Ce rectangle est aussi petit que voulu.
Pour les fonctions qui ne sont pas holomorphes mais continues en un point d'un ouvert contenant le rectangle, quatre cas peuvent se présenter , dont l'un est trivial, et deux autres cas qui se ramènent au dernier :
* Le point est à l'extérieur du rectangle : ce cas est trivial, il existe un ouvert contenant le rectangle mais pas ce point, le théorème démontré ci-dessus s'applique alors ;
* Le point est à l'intérieur du rectangle : il se découpe en 4 rectangles ayant pour sommet commun ce point. Pour ces 4 rectangles, c'est le quatrième cas qui s'applique ;
* Le point est sur le contour du rectangle privé des sommets : le rectangle se coupe en deux 4par une perpendiculaire passant par le point, donnant deux rectangles ayant pour un de leurs sommets le point à problème : c'est le quatrième cas qui s'applique alors pour ces deux rectangles ;
* Le point est sur un sommet : le rectangle peut se découper en deux rectangles, dont un qui possède ce point comme sommet, il peut être aussi petit que voulu, par continuité de la fonction sur le contour de ce petit rectangle , l'intégrale est aussi petite que voulue :
soit le carré de sommet , de côté de longueur .
où majore continue sur le compact .
Pour les deux autres rectangles, y est holomorphe, l'intégrale sur leur contour est donc nulle quel que soit . Donc,
L'intégrale est donc nulle.
Pour les fonctions qui ne sont pas holomorphes mais continues sur un nombre fini de points d'un ouvert contenant le rectangle, il suffit d'appliquer autant de fois que nécessaire la méthode ci-dessus. (fr)
- Préliminaire
Un rectangle quelconque R1 est l'image d'un rectangle R0 aux côtés parallèles à l'axe des réels et des imaginaires par une rotation r de centre l'un des sommets du rectangle R1.
L'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe h sur R1 est donc l'intégrale curviligne du produit de la dérivée de la rotation r avec la composition de la r par h sur R0 :
:
Or la rotation étant une holomorphie, la composée de celle-ci par une fonction holomorphe est une fonction holomorphe, de plus la dérivée de la rotation est également une holomorphie, donc son produit avec la composition est une holomorphie.
On est donc ramené à prouver que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un rectangle aux côtés parallèles aux axes des réels et des imaginaires est nulle.
Expression de l'intégrale curviligne
:R le rectangle cité précédemment. On fixe B de sorte que R soit inclus dans la domaine de définition de . On effectue les calculs pour . L'intégrale curviligne sur un rectangle est la somme des intégrales curvilignes sur ses quatre côtés. Isolons les trois intégrales où b intervient :
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Variation des deux premiers termes
:On a pris soin de modifier les paramétrages pour les segments et de sorte de faire sortir au niveau des bornes d'intégration la dépendance par rapport à des deux premières intégrales de droite. La dérivation par rapport à pour ces deux intégrales est alors facile à obtenir :
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Variation du troisième terme
:D'après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, il vient :
:
:Or, l'équation de Cauchy-Riemann nous permet d'écrire :
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:En injectant cette expression dans l'intégrale, il vient :
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Variation de l'intégrale curviligne
:En combinant les différentes dérivées précédemment obtenues, on trouve:
:
:Donc l'intégrale curviligne de sur le contour du rectangle plein est constant en fonction de . Par suite, elle vaut la valeur pour :
:
vignette|Rectangle et ses subdivisions adaptées à chaque point où la fonction n'est pas holomorphe.
vignette|Pour le cas où le point est un sommet, le rectangle peut se subdiviser en quatre rectangles dont un contient le point en question. Ce rectangle est aussi petit que voulu.
Pour les fonctions qui ne sont pas holomorphes mais continues en un point d'un ouvert contenant le rectangle, quatre cas peuvent se présenter , dont l'un est trivial, et deux autres cas qui se ramènent au dernier :
* Le point est à l'extérieur du rectangle : ce cas est trivial, il existe un ouvert contenant le rectangle mais pas ce point, le théorème démontré ci-dessus s'applique alors ;
* Le point est à l'intérieur du rectangle : il se découpe en 4 rectangles ayant pour sommet commun ce point. Pour ces 4 rectangles, c'est le quatrième cas qui s'applique ;
* Le point est sur le contour du rectangle privé des sommets : le rectangle se coupe en deux 4par une perpendiculaire passant par le point, donnant deux rectangles ayant pour un de leurs sommets le point à problème : c'est le quatrième cas qui s'applique alors pour ces deux rectangles ;
* Le point est sur un sommet : le rectangle peut se découper en deux rectangles, dont un qui possède ce point comme sommet, il peut être aussi petit que voulu, par continuité de la fonction sur le contour de ce petit rectangle , l'intégrale est aussi petite que voulue :
soit le carré de sommet , de côté de longueur .
où majore continue sur le compact .
Pour les deux autres rectangles, y est holomorphe, l'intégrale sur leur contour est donc nulle quel que soit . Donc,
L'intégrale est donc nulle.
Pour les fonctions qui ne sont pas holomorphes mais continues sur un nombre fini de points d'un ouvert contenant le rectangle, il suffit d'appliquer autant de fois que nécessaire la méthode ci-dessus. (fr)
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| prop-fr:date
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- mars 2021 (fr)
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| prop-fr:thème
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- mathématiques (fr)
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- Détails de la démonstration (fr)
- Détails de la démonstration (fr)
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- En analyse complexe, le lemme de Goursat (ou théorème de Goursat) est une version faible du théorème intégral de Cauchy. Selon ce lemme, si une fonction d'une variable complexe est définie et dérivable au voisinage d'un rectangle ou d'un triangle, alors son intégrale curviligne sur le contour est nulle. Initialement, le lemme de Goursat a été pressenti en 1814 par Augustin Louis Cauchy, qui intégra des fonctions d'une variable complexe sur des rectangles. Le lemme de Goursat présente pour seul intérêt des démonstrations plus faciles que la formule intégrale très générale de Cauchy. (fr)
- En analyse complexe, le lemme de Goursat (ou théorème de Goursat) est une version faible du théorème intégral de Cauchy. Selon ce lemme, si une fonction d'une variable complexe est définie et dérivable au voisinage d'un rectangle ou d'un triangle, alors son intégrale curviligne sur le contour est nulle. Initialement, le lemme de Goursat a été pressenti en 1814 par Augustin Louis Cauchy, qui intégra des fonctions d'une variable complexe sur des rectangles. Le lemme de Goursat présente pour seul intérêt des démonstrations plus faciles que la formule intégrale très générale de Cauchy. (fr)
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- Lemma von Goursat (de)
- Lemme de Goursat (analyse complexe) (fr)
- Lemma von Goursat (de)
- Lemme de Goursat (analyse complexe) (fr)
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