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- Ce tableau présente une série de relations fonctionnelles entre les distributions de probabilité courantes. Les relations peuvent prendre les formes suivantes :
* Une distribution G est la généralisation d'une distribution F, le plus couramment en introduisant un nouveau paramètre.Autrement dit, F est un cas particulier de G pour une valeur spécifique d'un paramètre.Exemple : Exponentielle(λ)=Gamma(λ,1).
* Une distribution est la limite d'une autre quand un paramètre tend vers l'infini (ou zéro).Elle peut servir d'approximation si elle est plus aisée à calculer.Exemple : Poisson approxime la Binomiale si n est grand et p petit.
* Une variable aléatoire y de distribution G est la transformation y(x) d'une variable x de distribution F.
* Univariée : X ~ Normale Standard — Y=x² ~ Khi-carré (1)
* Multiple : X1 ~ Khi-carré (n), X2 ~ Khi-carré (m) — Y=(x1/n)/(x2/m) ~ F de Fisher-Snedecor
* Statistiques : Xj ~ Géométrique(p) — Y=Σxj ~ Binomiale Négative
* Une distribution est une composée (ou un mélange) : le paramètre θ d'une distribution F(x|θ) est lui-même une variable aléatoire , de distribution G(θ), ce qui donne la distribution-mélange (ou composition) H(x). Parfois la conditionnelle J(θ|x) peut aussi suivre une distribution connue (Voir Duales, analyse bayesienne).Exemple : le mélange Gamma (G) de Poissons (F) est une Binomiale Négative (H). La duale (J) est une autre Gamma.N.B. Souvent ces composées sont connues simplement sous le nom de leur construction. Exemples : la Bêta-binomiale est un mélange Bêta de Binomiales ; la Gamma composée est un mélange Gamma de Gammas.
* Une distribution F est la duale d'une distribution G : elle traite en variable un paramètre de G et en paramètre la variable de G.
* Souvent, on les retrouve ensemble dans un contexte stochastique (processus de Poisson, de Bernoulli). Exemple : la variable Poisson mesure un nombre d'événements sur un temps donné, la variable Gamma mesure le temps nécessaire à un nombre donné d'événements.
* Les duales servent aussi dans l'analyse bayesienne : F est la prieure conjuguée de G, permettant d'en estimer le paramètre. Exemple : la Bêta (xa(1-x)b) est la prieure conjuguée de la Binomiale (px(1-p)n-x) pour le paramètre p. Attention ! Dans le résumé, la notation ne représente pas la distribution Khi², mais une variable aléatoire de distribution Khi².La distribution de la somme de deux variables aléatoires (qu'on appelle la convolution des deux distributions ) s'écrit , alors que nous notons ici la somme des variables .Le signe signifie "a la même distribution que". (fr)
- Ce tableau présente une série de relations fonctionnelles entre les distributions de probabilité courantes. Les relations peuvent prendre les formes suivantes :
* Une distribution G est la généralisation d'une distribution F, le plus couramment en introduisant un nouveau paramètre.Autrement dit, F est un cas particulier de G pour une valeur spécifique d'un paramètre.Exemple : Exponentielle(λ)=Gamma(λ,1).
* Une distribution est la limite d'une autre quand un paramètre tend vers l'infini (ou zéro).Elle peut servir d'approximation si elle est plus aisée à calculer.Exemple : Poisson approxime la Binomiale si n est grand et p petit.
* Une variable aléatoire y de distribution G est la transformation y(x) d'une variable x de distribution F.
* Univariée : X ~ Normale Standard — Y=x² ~ Khi-carré (1)
* Multiple : X1 ~ Khi-carré (n), X2 ~ Khi-carré (m) — Y=(x1/n)/(x2/m) ~ F de Fisher-Snedecor
* Statistiques : Xj ~ Géométrique(p) — Y=Σxj ~ Binomiale Négative
* Une distribution est une composée (ou un mélange) : le paramètre θ d'une distribution F(x|θ) est lui-même une variable aléatoire , de distribution G(θ), ce qui donne la distribution-mélange (ou composition) H(x). Parfois la conditionnelle J(θ|x) peut aussi suivre une distribution connue (Voir Duales, analyse bayesienne).Exemple : le mélange Gamma (G) de Poissons (F) est une Binomiale Négative (H). La duale (J) est une autre Gamma.N.B. Souvent ces composées sont connues simplement sous le nom de leur construction. Exemples : la Bêta-binomiale est un mélange Bêta de Binomiales ; la Gamma composée est un mélange Gamma de Gammas.
* Une distribution F est la duale d'une distribution G : elle traite en variable un paramètre de G et en paramètre la variable de G.
* Souvent, on les retrouve ensemble dans un contexte stochastique (processus de Poisson, de Bernoulli). Exemple : la variable Poisson mesure un nombre d'événements sur un temps donné, la variable Gamma mesure le temps nécessaire à un nombre donné d'événements.
* Les duales servent aussi dans l'analyse bayesienne : F est la prieure conjuguée de G, permettant d'en estimer le paramètre. Exemple : la Bêta (xa(1-x)b) est la prieure conjuguée de la Binomiale (px(1-p)n-x) pour le paramètre p. Attention ! Dans le résumé, la notation ne représente pas la distribution Khi², mais une variable aléatoire de distribution Khi².La distribution de la somme de deux variables aléatoires (qu'on appelle la convolution des deux distributions ) s'écrit , alors que nous notons ici la somme des variables .Le signe signifie "a la même distribution que". (fr)
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- Ce tableau présente une série de relations fonctionnelles entre les distributions de probabilité courantes. Les relations peuvent prendre les formes suivantes :
* Une distribution G est la généralisation d'une distribution F, le plus couramment en introduisant un nouveau paramètre.Autrement dit, F est un cas particulier de G pour une valeur spécifique d'un paramètre.Exemple : Exponentielle(λ)=Gamma(λ,1).
* Une distribution est la limite d'une autre quand un paramètre tend vers l'infini (ou zéro).Elle peut servir d'approximation si elle est plus aisée à calculer.Exemple : Poisson approxime la Binomiale si n est grand et p petit.
* Une variable aléatoire y de distribution G est la transformation y(x) d'une variable x de distribution F.
* Univariée : X ~ Normale Standard — Y=x² ~ Khi-carr (fr)
- Ce tableau présente une série de relations fonctionnelles entre les distributions de probabilité courantes. Les relations peuvent prendre les formes suivantes :
* Une distribution G est la généralisation d'une distribution F, le plus couramment en introduisant un nouveau paramètre.Autrement dit, F est un cas particulier de G pour une valeur spécifique d'un paramètre.Exemple : Exponentielle(λ)=Gamma(λ,1).
* Une distribution est la limite d'une autre quand un paramètre tend vers l'infini (ou zéro).Elle peut servir d'approximation si elle est plus aisée à calculer.Exemple : Poisson approxime la Binomiale si n est grand et p petit.
* Une variable aléatoire y de distribution G est la transformation y(x) d'une variable x de distribution F.
* Univariée : X ~ Normale Standard — Y=x² ~ Khi-carr (fr)
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- Relations entre distributions de probabilité (fr)
- Relations entre distributions de probabilité (fr)
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